5.3.2. Некогерентные сигналы

Рассмотрим сначала обнаружение последовательности неперекры-вающихся импульсных сигналов вида

Несущая частота огибающая и фаза сигнала считаются известными. Начальная фаза случайная величина, равномерно распределенная на интервале с плотностью Начальные фазы отдельных импульсов в последовательности независимы.

Пусть за интервал наблюдения из входного воздействия делается выборок, где Н — число выборок в одном периоде повторения, число периодов. Обозначим выборки в одном периоде индексами , а выборки из разных периодов индексами Некогерентную пачку, составленную из одинаковых импульсов вида (5.38) и постоянным периодом следования Т, можно записать в виде

где . Здесь начальная фаза импульса. Заметим, что случайные параметры распределены равномерно, как и

Логарифм усредненного по параметрам отношения правдоподобия может быть представлен в виде

Определим асимптотические выражения Z, приводящие к алгоритмам, близким к оптимальным при слабых сигналах. Для этого разложим в (5.39) функцию в ряд по степеням сигнала а экспоненту и логарифм в ряд Маклорена. Первые члены разложения правой части (5.39) имеют порядок и дают следующее выражение для Z:

где

Через в (5.40) обозначен остаточный член разложения, содержащий слагаемые порядка А и выше.

Пусть число импульсов L и энергия последовательности фиксированы. При этом амплитуду импульсов следует рассматривать пропорциональной . С увеличением длительности импульсов, т. е. при остаточный член по вероятности, так что разложение (5.40) принимает вид

Алгоритм (5.41) является асимптотически оптимальным при , т. е. близок к оптимальному при большой длительности импульсов пачки. Обнаружитель, соответствующий (5.41), отличается от оптимального обнаружителя при гауссовском шуме наличием на входе нелинейного преобразователя с характеристикой (5.19).

Положим теперь фиксированными длительность импульсов или, иначе, величину Н и произведение полной энергии сигнала на энергию одного импульса , а амплитуду импульсов будем рассматривать пропорциональной Увеличение числа импульсов при данных условиях приводит к снижению значимости остаточного члена в разложении (5.40). При член по вероятности, а логарифм отношения правдоподобия принимает вид

Алгоритм (5.42) является асимптотически оптимальным при . Схема обработки, соответствующая (5.42), приведена на рис. 5.3.

Нелинейный элемент НЭХ имеет характеристику ,

а НЭ — характеристику . Как видим, в данном случае простая модификация обнаружителя, оптимального при гауссовском шуме, путем включения на входе НЭ не обладает оптимальными свойствами. Помимо такой модификации необходима еще дополнительная цепь с нелинейными обработкой и некогерентным накоплением.

Остановимся теперь на крайнем случае, соответствующем сигналу в виде последовательности независимых отсчетов , где А — амплитуда отсчетов; фаза отсчетов, равновероятная в интервале фазы разных отсчетов независимые. Из алгоритма (5.42) следует асимптотически оптимальное правило формирования статистики обнаружения

где

Алгоритм (5.43) предписывает нелинейное преобразование входных отсчетов с последующим их накоплением. Если амплитуда изменяется от отсчета к отсчету по известному закону, то накопление весовое с. весом

Для некогерентных сигналов общего вида в последнее выражение вместо войдет дисперсия сигнальных отсчетов [230]. Заметим, что при гауссовском распределении с нулевым средним и дисперсией нелинейный преобразователь имеет характеристику. (опускаем несущественный коэффициент)

что согласуется с известным положением о квадратичном накоплении наблюдаемых данных при обнаружении некогерентного сигнала в гауссовском шуме.

Из алгоритма (5.43) следует, что оптимальный обнаружитель в случае негауссовских помех можно вновь представить в виде модификации обнаружителя, оптимального при гауссовском шуме, которая заключается в постановке на входе дополнительного нелинейного преобразователя с характеристикой . Этот вывод распространяется на некогерентные сигналы общего вида. При объединении

Рис. 5.3. Асимптотически оптимальный обнаружитель некогерентной пачки импульсов на фоне широкополосной помехи

дополнительного преобразователя с квадратичным получаем НЭ с характеристикой (5.44). Заметим, что дополнительный НЭ, а также, объединенный НЭ в обнаружителе некогерентных сигналов отличаются от НЭ в обнаружителе когерентных сигналов.

Найдем среднее значение и дисперсию статистики (5.43), полагая выполняющимися следующие условия, аналогичные (5.22):

При отсутствии сигнала получаем

При наличии сигнала во входных данных статистику (5.43) запишем, используя разложение функции в ряд Тейлора по степеням s, в виде

В условиях асимптотической оптимальности алгоритма (5.43) с учетом соотношений и независимости отсчетов сигнала и помехи получаем

При выполнении условий (5.45) имеем равенство . С учетом последнего выходное отношение сигнал-помеха равно

При гауссовском распределении помехи с дисперсией для , получаем

Отношение

где характеризует приращение отношения сигнал-помеха на выходе устройства оптимальной обработки при действии вместо гауссовского шума негауссовской помехи. Этот вывод распространяется на некогерентные сигналы общего вида. Заметим, что

при обнаружении когерентных сигналов аналогичное приращение, определенное по (5.24), имеет вид

Используя неравенство Буняковского—Коши, можно доказать, что при выполнении дополнительных условий типа (5.45) на поведение функции в концах интервала ее определенности имеет место соотношение причем знак равенства соответствует гауссовской плотности

Для статистики (5.41) в условиях ее асимптотической оптимальности моменты равны:

где а коэффициент определяется по формуле. (5.24).

Для статистики (5.42) в условиях, ее асимптотической оптимальности моменты и приближаются к моментам статистики (5.41) при наличии условия которое выполняется тем лучше, чем больше длительность отдельных импульсов в пачке. С уменьшением длительности импульсов пачки моменты статистики (5.42) приближаются к моментам статистики (5.43).

Рассмотрев оптимальное обнаружение когерентных и некогерентных сигналов приходим к выводу, что оптимальная обработка при обнаружении сигналов на фоне широкополосной негауссовской помехи отличается от обработки при помехе типа белый гауссовский шум дополнительным нелинейным безынерционным преобразованием входной смеси сигнала с помехой. Нелинейное преобразование имеет специальный вид и зависит от вида одномерного распределения помехи и от того, когерентным или некогерентным является полезный сигнал. Эффект дополнительного нелинейного преобразования выражается снижением необходимого отношения сигнал-помеха в , раз в случае обнаружения когерентных сигналов раз при обнаружении некогерентных сигналов, причем Величина зависят от одномерного распределения помехи и не зависят от формы сигнала. При обнаружении некогерентной пачки импульсов, являющейся сигналом когерентно-некогерентного типа, оптимальная обработка сложнее простой модификации гауссовского обнаружителя, отмеченной выше. Однако если преобладает когерентная или некогерентная часть, то оптимальную обработку можно заменить соответствующей когерентным или некогерентным сигналам.