2.4.2. Обнаружение сигналов на фоне пассивных помех с неопределенными параметрами

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала при совместном воздействии гауссовского шума и мешающих сигналов, например мешающих отражений в локационных системах, межсимвольных помех при многолучевом распространении сигнала и межканальных помех в системах связи. Мешающие сигналы подобного рода принято называть пассивными помехами. Известны методы борьбы с пассивными помехами, когда они адекватно представляются гауссовским коррелированным шумом [75]. Однако не всегда для пассивных помех справедлива гауссовская аппроксимация. В ряде случаев вообще отсутствуют основания для представления пассивной помехи случайным процессом с устойчивым распределением. Поэтому представляют интерес правила обнаружения при минимальных априорных данных о пассивной помехе, когда задано только множество ее реализаций без определения на нем вероятностного распределения. Ниже рассмотрен вариант такого правила, полученного с использованием принципа инвариантности.

В качестве наблюдаемого процесса возьмем колебание на выходе ЛТП с П-образной амплитудно-частотной характеристикой. Спектральную плотность гауссовского шума считаем постоянной в пределах полосы пропускания ЛТП. При этих предположениях комплексные огибающие сигнала, пассивной помехи и шума на выходе ЛТП аппроксимируются финитными по частоте процессами, принадлежащими гильбертову пространству не воспроизводящим ядром [93]. Воспроизводящее ядро пространства Н равно корреляционной функции комплексной огибающей шума на выходе ЛТП. Комплексная огибающая наблюдаемого процесса также принадлежит пространству H. Так как точность аппроксимации ограниченного во времени процесса финитным по частоте процессом возрастет с увеличением произведения ширины спектра на время Т наблюдения. то полагаем Конкретный вид реализации пассивной помехи считаем неизвестным. Единственное предположение о помехе состоит в том, что совокупность всех ожидаемых реализаций образует подпространство .

Действие пассивной помехи на наблюдаемый процесс равносильно преобразованию его комплексности огибающей группой аддитивных операторов. В связи с этим для построения правила обнаружения, устойчивого относительно пассивной помехи, воспользуемся принципом инвариантности. Применяя методику п. 2.3.2, находим, что МИ группы G является процесс , где ортогональная проекция наблюдения в подпространство L. Оператор ортогонального проектирования существует, так как L — подпространство в пространстве . Полученный МИ принадлежит ортогональному дополнению Q подпространства L и состоит из сигнальной и шумовой компонент, где Пассивная помеха отсутствует в процессе Z(t), так как в силу равенства Это создает необходимые предпосылки для устойчивости правила обнаружения к действию пассивной помехи. В связи с линейностью оператора процесс является гауссовским со средним значением и некоторой корреляционной функцией .

Образуем выборку из отсчетов Z; процесса в моменты времени Плотность вероятности этой выборки

где выборка из отсчетов сигнальной компоненты процесса вектор, удовлетворяющий уравнению

с матрицей Используя свойство воспроизведения пространства Н и заменяя (2.62) интегральным уравнением с ядром можно показать, что при большом значении уравнение имеет решение , где спектральная плотность гауссовского шума на входе ЛТП. С учетом этого решения плотность вероятности (2.61) принимает вид

При достаточно большом объеме выборки Z статистика и статистика где соответственно норма и скалярное произведение в пространстве Н. Ниже указанные статистики выражаются через норму и скалярное произведение в пространстве Н, поэтому индекс «н» при записи этих статистик опускается.

Распределения с плотностью вероятности (2.63) образуют экспоненциальное семейство, для которого выполняются условия существования РНМ инвариантного правила. Так как (2.63) совпадает с выражением для плотности вероятности при обнаружении сигнала в белом шуме с той только разницей, что наблюдаемая выборка заменена вектором Z и обнаруживаемый сигнал s — сигналом s — s, то при построении РНМ инвариантного правила можно непосредственно использовать результаты пп. 2.2.1 и 2.4.1. Согласно этим результатам в случае когерентного обнаружения (начальная фаза сигнала известна) и априорно неопределенной спектральной плотности шума получаем с учетом равенства решающую функцию РНМ инвариантного правила

При некогерентном обнаружении (начальная фаза сигнала произвольная) и априорно неопределенной спектральной плотности шума решающая функция

Правила (2.64) и (2.65) обеспечивают инвариантность вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения к воздействию пассивной помехи. Они имеют также стабильную вероятность ложной тревоги при изменении уровня шума, а правило (2.65) — инвариантную к начальной фазе сигнала вероятность правильного обнаружения. Вероятность правильного обнаружения у этих правил максимальна среди всех правил, инвариантных к действию пассивной помехи рассмотренного вида.

Остановимся на вычислении статистик .

Значение статистики равно в некоторый момент времени отклику фильтра, согласованного с сигналом . Нормированная импульсная реакция этого фильтра , где

Фильтр (2.66) режектирует пассивную помеху так как функция к ортогональна подпространству L. Такой режекторный фильтр (РФ) наряду с подавлением пассивной помехи выделяет также полезный сигнал с максимальным выходным отношением сигнал-шум, т. е. оказывается своего рода оптимальным в классе всех РФ, подавляющих помеху и выделяющих сигнал. Чтобы это показать, сравним выходные отношения сигнал-шум фильтра (2.66) и произвольного РФ, импульсная реакция которого задается отличной от функцией При условии нормировки выходные отношения сигнал-шум этих фильтров соответственно равны Так как Далее с учетом равенств имеем

Отсюда, применяя неравенство Коши—Буняковского получаем Таким образом, фильтр (2.66) действительно максимизирует выходное отношение сигнал-шум в классе всех РФ.

Фильтр (2.66) является единственным оптимальным РФ в смысле выходного отношения сигнал-шум. Для доказательства этого покажем, что в классе РФ, у которых равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Так как то при с учетом равенства получаем . Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда Ограничение типа несущественно, так как касается только начальной фазы импульсной реакции фильтра. Поэтому можно считать, что фильтр (2.66) является единственным фильтром с максимальным выходным отношением сигнал-шум. Доказанная оптимальность РФ (2.66) есть по существу следствие того, что он построен на основе статистики МИ, которая при соответствующей инвариантности минимально редуцирует наблюдаемые данные (через МИ выражаются все другие инвариантные статистики).

В прикладных задачах пассивная помеха часто аппроксимируется квазидетерминированным сигналом с комплексной огибающей

где — произвольные комплексные коэффициенты; — известные линейно-независимые сигналы с единичной энергией; — конечное число.

Множество сигналов (2.67) образует подпространство L. Ортогональная проекция сигнала в это подпространство

Весовые коэффициенты проекции (2.68) определяются из системы уравнений

где — коэффициенты взаимной корреляции мешающих сигналов.

Согласно выражению (2.68) импульсная реакция оптимального РФ задается функцией

Фильтр (2.69) реализуется на основе фильтра СФ, согласованного с обнаруживаемым сигналом , совокупности из фильтров согласованных с мешающими сигналами сумматора откликов этих фильтров с весами и вычитающего устройства. Отклик такой линейной системы в некоторый момент времени, как отмечалось выше, дает значение статистики

Вторая статистика входящая в пороговые функции правил (2.64) и (2.65), при пассивной помехе вида (2.67) определяется выражением

где — элементы матрицы , обратной к матрице .

Устройство, вычисляющее статистику (2.70), состоит из совокупности фильтров, согласованных с сигналами вычислителя ВКФ квадратичной формы с матрицей вычислителя нормы в виде квадратичного детектора с интегратором и разностного каскада.

Структурные схемы обнаружителей, реализующих правила (2.64) и (2.65), даны на рис. 2.14 и 2.15. На этих рисунках штрихпунктирной линией выделены фильтры, режектирующие пассивную помеху и выделяющие полезный сигнал. Характеристики обнаружения правил (2.64) и (2.65) с достаточной для инженерной практики точностью совпадают с характеристиками когерентного и некогерентного обнаружения сигнала, приведенными на рис. 2.2 и 2.10, если под отношением

сигнал-шум понимать отношение сигнал-шум на выходе РФ и заменить параметр параметром где — число мешающих сигналов модели (2.67) пассивной помехи. Отношение сигнал-шум на выходе РФ

где Е — энергия обнаруживаемого сигнала. Так как , то вероятность правильного обнаружения при наличии пассивной помехи меньше, чем в ее отсутствие.

Рис. 2.14. Структурная схема обнаружителя когерентного сигнала на фоне шума и пассивной помехи

Рис. 2.15. Структурная схема обнаружителя некогерентного сигнала на фоне шума и пассивной помехи

Анализ полученных правил показывает, что их применение оправдано, если протяженность зоны пассивной помехи на плоскости (время — частота) мала по сравнению с длительностью и шириной спектра обнаруживаемого сигнала и уровень помех существенно превышает уровень гауссовского шума (имеются в виду пассивные помехи, создаваемые мешающими отражениями зондирующего сигнала).

Полученные выше РФ не являются принципиально новыми, близкие к ним фильтры рассматривались ранее в ряде работ (см., например, [78]). Однако в этих работах не была установлена их оптимальность в

смысле вероятностных характеристик обнаружения при одновременном воздействии шума и пассивной помехи. Здесь показано, что такие РФ входят в обнаружители, максимизирующие вероятность правильного обнаружения, когда сведения о пассивной помехе минимальны и сводятся только к заданию множества ее возможных реализаций.

Рассмотренный РФ можно эффективно использовать для подавления боковых лепестков функции неопределенности сигнала. В частности, он позволяет полностью подавить боковые лепестки автокорреляционной функции (АКФ) фазо-манипулированного (ФМ) сигнала на некотором конечном интервале , где — длительность элемента ФМ сигнала; тир — произвольные целые числа, причем подавление боковых лепестков сопровождается минимальным ослаблением главного максимума АКФ, так как фильтр оптимален в смысле выходного отношения сигнал-шум.

Импульсная реакция фильтра определяется выражением (2.69) при подстановке . По построению такой фильтр подавляет боковые лепестки АКФ в дискретных точках р. Непосредственной проверкой нетрудно установить, что этот же фильтр подавляет боковые лепестки на всем интервале А, так как АКФ сигнала с фазовой манипуляцией удовлетворяет равенству

при любом