Б. Двух- и трехчастичные задачи

Задача 139. Спиновые функции двух частиц

Имеется система из двух частиц со спином 1/2 (например, нейтрон и протон). Найти спиновые функции системы, диагонализующие одновременно z-компоненту и квадрат оператора суммарного спина

Решение. Пусть гильбертовы базисные векторы нейтрона, а -базисные векторы протона. Тогда спиновая функция х двухчастичной системы должна иметь вид

Из определения спиновых операторов (см. задачу 129) следует

Таким образом, каждый отдельный член в выражении (139.2) является собственной функцией оператора

(см. скан)

Значения проекции спина +1, 0, -1 (в единицах согласуются с полуклассической векторной моделью. Нулевое собственное значение является вырожденным: ему принадлежат две собственные функции, и а следовательно, и любая их линейная комбинация.

Рассмотрим теперь оператор

Мы имеем

и, следовательно,

Мы видим, что функции принадлежат собственному значению оператора Вводя обычные обозначения

можно сказать, что эти функции характеризуются квантовым числом На языке полуклассической векторной модели это означает, что суммарный спин (в единицах а его проекция равна либо либо —1.

Основываясь на равенстве (139.46), мы можем сконструировать еще две собственные функции оператора принадлежащие собственному значению Пусть -пока не известное собственное значение оператора Тогда можно написать

Это дает два линейных уравнения для определения В и С:

Детерминант этой системы должен обратиться в нуль:

Таким образом, для двух собственных функций оператора принадлежащих собственному значению получаем

Окончательные результаты собраны в приводимой ниже таблице, причем собственные функции нормированы с учетом условий

(см. скан)

Замечание. Из равенства

следует, что триплетные и синглетная спиновые функции, приведенные в таблице, являются также собственными функциями оператора причем

Эти результаты будут полезны в следующей задаче.