Задача 199. Ток проводимости и ток поляризации
а) Показать, что плотность тока частицы с зарядом 
удовлетворяет уравнению непрерывности
б) Показать, что вектор 
можно разбить на две части:
причем пространственные компоненты тока проводимости 
совпадают по форме с компонентами плотности тока 
в нерелятивистской теории. Вторая часть плотности тока известна под названием тока поляризации.
Решение
а. Чтобы убедиться в справедливости уравнения (199.2), мы должны в дополнение к уравнению Дирака
где
рассмотреть аналогичное дифференциальное уравнение для функции 
Так как величины 
и 
-действительные, а величины 
чисто мнимые, то операторы, комплексно сопряженные операторам
имеют вид
Запишем уравнение, сопряженное уравнению (199.4а):
После подстановки 
оно принимает вид
так что окончательно имеем
Исключая из уравнений (199.4а) и (199.46) массовые члены, получаем
Члены, содержащие 4-вектор потенциала а, взаимно сокращаются, и мы имеем
что полностью согласуется с уравнением непрерывности (199.2).
б. Как было показано в задаче 126, нерелятивистская плотность тока определяется выражением
и, следовательно, содержит билинейные комбинации волновых функций и их пространственных производных. Чтобы придать плотности тока 
определенной выражением (199.1), аналогичную форму, мы должны либо выразить с помощью уравнения (199.4а) функцию 
через ее первые производные, либо с помощью уравнения (199.46) сделать то же самое для функции 
Поступая указанным образом, получаем 
Беря полусумму приведенных выражений и учитывая, что
запишем плотность тока в более симметричном виде:
Пользуясь далее для преобразования второго и третьего членов перестановочным соотношением
получаем
Если в последнем выражении выделить диагональный член суммы, то оно запишется в виде
В этом окончательном результате первый член по форме в точности совпадает с нерелятивистским выражением (199.5) и в согласии с нашим определением его можно отождествить с током проводимости Второй же член представляет собой так называемый ток поляризации
Замечание. Это разложение плотности тока впервые было исследовано в работе Гордона 
Пространственную часть плотности тока поляризации 
можно записать в виде
где
— компоненты вектора спина, записанные с помощью приводимых четырехрядных матриц, 
матрицы, определенные в конце задачи 189. В случае плоской волны ток поляризации обращается в нуль.
