Задача 217. Интенсивности линий лаймановской серии
Сравнить интенсивности двух первых линий серии Лаймана, 
в спектре излучения атома водорода.
Решение. Мы должны рассмотреть два перехода:
Вероятность излучения, проинтегрированная по всем направлениям и просуммированная по обоим состояниям поляризации, имеет вид
Интенсивность спектральной линии (т. е. энергия, излучаемая в 1 с) пропорциональна произведению 
поэтому для рассматриваемых линий
В атомных единицах для энергий соответствующих переходов имеем
Таким образом, остается вычислить два матричных элемента.
Согласно результатам задачи 67, волновая функция конечного состояния записывается в виде
а для волновых функций начальных состояний мы имеем в случае линии 
выражение
а в случае линии 
выражение
Выше для обоих 
-состояний мы произвольно положили 
Это отнюдь не ограничивает общности рассмотрения, поскольку мы не собираемся обсуждать эффекты, связанные с ориентацией атома. Радиус-вектор 
имеет компоненты
Как непосредственно видно, матричные элементы 
в результате интегрирования по углу 
обращаются в нуль. Таким образом, остается вычислить лишь матричный элемент 
Имеем
и
Последние интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем
Собирая вместе соотношения (217.2), (217.3) и (217.5), окончательно находим
или
Замечание. Радиальные матричные элементы для других пар состояний-атома водорода приведены в монографии Бете и Солпитера: см. Bet he Н. А., Salpeter Е. Е., в книге: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin - Gottingen - Heidelberg, 1957, Vol. 35, § 63 и особенно табл. 13. (Имеется перевод: Бете-Г., Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами,. Физматгиз, 1960, стр. 412-415.- Прим. ред.)
