Задача 217. Интенсивности линий лаймановской серии

Сравнить интенсивности двух первых линий серии Лаймана, в спектре излучения атома водорода.

Решение. Мы должны рассмотреть два перехода:

Вероятность излучения, проинтегрированная по всем направлениям и просуммированная по обоим состояниям поляризации, имеет вид

Интенсивность спектральной линии (т. е. энергия, излучаемая в 1 с) пропорциональна произведению поэтому для рассматриваемых линий

В атомных единицах для энергий соответствующих переходов имеем

Таким образом, остается вычислить два матричных элемента.

Согласно результатам задачи 67, волновая функция конечного состояния записывается в виде

а для волновых функций начальных состояний мы имеем в случае линии выражение

а в случае линии выражение

Выше для обоих -состояний мы произвольно положили Это отнюдь не ограничивает общности рассмотрения, поскольку мы не собираемся обсуждать эффекты, связанные с ориентацией атома. Радиус-вектор имеет компоненты

Как непосредственно видно, матричные элементы в результате интегрирования по углу обращаются в нуль. Таким образом, остается вычислить лишь матричный элемент Имеем

и

Последние интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем

Собирая вместе соотношения (217.2), (217.3) и (217.5), окончательно находим

или

Замечание. Радиальные матричные элементы для других пар состояний-атома водорода приведены в монографии Бете и Солпитера: см. Bet he Н. А., Salpeter Е. Е., в книге: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin - Gottingen - Heidelberg, 1957, Vol. 35, § 63 и особенно табл. 13. (Имеется перевод: Бете-Г., Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами,. Физматгиз, 1960, стр. 412-415.- Прим. ред.)