Задача 140. Центральное взаимодействие между нуклонами, зависящее от спина
С разумной степенью точности взаимодействие нейтрона и протона в 
-состоянии можно описать с помощью центральных сил, имеющих различную величину для симметричного и антисимметричного спиновых состояний. Выразить указанное
взаимодействие через зависящий от спина потенциал, используя для этого
а) обменный спиновый оператор 
б) операторы спина 
нейтрона и протона.
Решение. Центральное взаимодействие означает, что энергия взаимодействия зависит только от расстояния 
между двумя частицами. Эта энергия должна быть различной в состояниях с разной спиновой симметрией, например 
в триплетном состоянии, когда спины параллельны, и 
в синглетном состоянии, когда спины антипараллельны.
а. Пусть 
-двухчастичная функция. Определим обменный спиновый оператор с помощью равенства
Для симметричного триплетного состояния
поэтому
С другой стороны, для антисимметричного синглетного состояния
и, следовательно,
Таким образом, оба типа функций являются собственными функциями обменного оператора и принадлежат соответственно собственным значениям +1 и —1. Так как три триплетные и одна синглетная функции образуют полный набор, то равенства (140.2а) и (140.26) определяют обменный оператор полностью и притом единственным образом.
Если теперь определить энергию взаимодействия выражением вида
то, согласно (140.2а) и (140.26), должны выполняться равенства
поэтому, выражения
будут описывать энергию взаимодействия соответственно в триплетном и синглетном состояниях. Отсюда следует
б. В конце предыдущей задачи мы показали, что спиновые функции 
являются собственными функциями оператора 
причем
Отсюда следует, что оператор 
линейным образом выражается через оператор 
. В самом деле, положив
мы убеждаемся, что такой выбор обеспечивает выполнение равенств (140.2а) и (140.26). Поскольку, далее, не существует других спиновых функций двухнуклонной системы, то оба оператора полностью определяются равенствами (140.2а), (140.26) и (140.4), поэтому соотношение (140.5) обладает всей возможной степенью общности.
Исключая с помощью (140.5) оператор 
из равенства (140.3), окончательно получаем
