Задача 136. Тонкая структура
Взаимодействие собственного магнитного момента электрона,
с его орбитальным моментом 
описывается членом в гамильтониане вида
Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление энергетических уровней.
Замечание. Так называемый g-фактор электрона очень близок к единице. Как было установлено, его точное значение равно 1,001145. Так как полную теорию тонкой структуры нельзя построить, оставаясь в рамках нерелятивистской квантовой механики, то к введенному выше 
-фактору не следует относиться слишком серьезно. Это же замечание в полной мере относится и к 
жителю 2 в знаменателе выражения (136.2) (так называемая поправка Томаса), его появление невозможно объяснить в рамках нерелятивистской теории.
Решение. Волновая функция электрона в центральном поле есть одновременно собственная функция операторов 
ее угловая зависимость была установлена в одной из предыдущих задач, поэтому фигурирующий в гамильтониане (136.2) оператор 
можно исключить, имея в виду, что для состояния 
справедливо соотношение
или
Таким образом, наличие в гамильтониане члене - (136.2) в конечном счете добавляет к потенциальной энергии 
энергию возмущения вида
Эта энергия зависит от квантовых чисел 
, и поэтому при одном и том же значении I она будет различной для разных значений 
В первом порядке теории возмущений поправка к уровню энергии определяется формулой 2)
Пользуясь теми же обозначениями, что и в выражениях (133.11) и (133.12) и принимая во внимание условие нормировки,
получаем
Таким образом, расщепление уровней с одним и тем же значением 
но различными значениями 
оказывается пропорциональным разности
поэтому
Заметим, что подуровень с меньшим значением 
располагается снизу (нормальный дублет).
Некоторое представление о величине интеграла (136.7) можно получить, взяв в качестве потенциала выражение
Так как вблизи ядра всякого атома потенциал ведет себя указанным образом и так как в этой области
то подынтегральное выражение в (136.7) пропорционально 
следовательно, интеграл конечен при 
и логарифмически расходится для 
-состояний, когда 
Поскольку 
-состояния не расщепляются, а лишь сдвигаются, последний результат не имеет особого значения при анализе спектрокопических данных. В аккуратной релятивистской теории трудность вообще не возникает (см. задачу 203).
И без детальных вычислений интегралов типа (136.7) можно с уверенностью сказать, что результат имеет величину порядка 
где а — величина такого же порядка, что и радиус атома. Так как атомные термы имеют порядок 
то, грубо говоря,
где 
- комптоновская длина волны. Она представляет собой малую величину, поэтому обсуждаемый эффект действительно носит характер тонкой структуры, и для его рассмотрения можно ограничиться, как это и было сделано, первым порядком теории возмущений.
