Задача 188. Спин-флип в магнитной резонансной системе

Частица со спином К и магнитным моментом движется в направлении оси у в постоянном и однородном магнитном поле которое параллельно оси z. В таком поле спин частицы ориентируется либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси z. Для определенности будем считать, что он направлен в положительную сторону. Когда частица в момент времени проходит точку она попадает в область, где действует еще одно однородное поле, параллельное оси х. В момент времени когда частица проходит точку она покидает область действия поля Какова вероятность, что за указанный промежуток времени ориентация спина частицы изменится на противоположную?

Решение. В уравнении Шредингера

последний член в правой части обусловлен энергией взаимодействия магнитного момента частицы с магнитным полем Оператор магнитного момента определяется равенством

где - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули (см. задачу 129).

При на частицу действует только поле поэтому решение уравнения (188.1) записывается в виде

а энергия частицы равна

Если теперь в момент времени включается поле то состояние частицы начинает меняться и его следует описывать волновой функцией вида

причем выше мы положили

Если можно не учитывать искривление траектории частицы, вызванное действием силы Лоренца, которая перпендикулярна оси у, то можно считать, что в направлении оси у импульс частицы все время остается постоянным.

При подстановке выражения (188.5) в уравнение (188.1) нужно соблюдать известную осторожность, когда дело касается члена, ответственного за магнитное взаимодействие. Мы имеем

и, следовательно,

Расписывая далее уравнение Шредингера по компонентам, получаем

Чтобы найти решение этой системы уравнений, положим

в результате вместо (188.7) у нас получится система линейных

алгебраических уравнений

Определитель этой системы обращается в нуль при условии, что

Таким образом, решение системы уравнений (188.7) можно записать в виде

где

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:

Нетрудно проверить, что

и

С учетом этих результатов после очевидных преобразований найдем

Легко убедиться, что

Вероятность спин-флипа, т. е. вероятность обнаружить, что спин частицы ориентирован в отрицательном направлении оси z после того, как в момент времени она покинула область, где действует поле согласно формулам (188.10) и

(188.8), определяется выражением

Выражение (188.11) показывает, что рассматриваемое экспериментальное устройство можно использовать для определения магнитного момента атома со спином (например, атома щелочного металла в основном состоянии). Пучок атомов фокусируется, если спин-флипа не происходит, и дефокусируется, если спин-флип происходит. Меняя в процессе эксперимента напряженности магнитных полей, можно довести интенсивность пучка до минимума:

Минимум достигается при условии, что

Такой способ определения магнитного момента, конечно, возможен только в том случае, если приняты специальные меры, обеспечивающие селекцию скорости, и величина хорошо известна. Изложенная нами теория, разумеется, является весьма упрощенной, так как она не учитывает целый ряд деталей: отклонение от первоначальной траектории из-за силы Лоренца, неоднородность поля, используемого для фокусировки, поля рассеяния и, самое главное, динамические изменения магнитного момента за счет эффекта Зеемана. Наш подход скорее относится к случаю, когда имеет место эффект Пашена — Бака, т. е. когда связь между орбитальным и спиновым моментами разорвана, но тогда может возникнуть вопрос, законно ли мы пренебрегаем изменением импульса, поскольку такое пренебрежение, очевидно, предполагает, что напряженность магнитного поля мала.

Замечание. Строго говоря, частицу, находящуюся в момент времени в точке следовало бы описывать волновым пакетом (см. задачу 17). Однако в нашем случае это не приносит особой пользы и вводить в рассмотрение волновой пакет нецелесообразно.