Задача 219. Тормозное излучение

В рамках нерелятивистской теории столкновение электрона с тяжелым ядром, сопровождающееся рождением у-кванта, можно рассматривать как процесс второго порядка, в котором ядро считается бесконечно тяжелым и описывается просто его электростатическим полем. Пользуясь указанным приближением, рассчитать спектр тормозного излучения.

Решение. На фиг. 76 показаны две простейшие диаграммы, соответствующие рассматриваемому процессу. В начальном состоянии имеются покоящееся ядро и электрон с импульсом В конечном состоянии мы опять имеем покоящееся ядро, электрон с некоторым меньшим импульсом и фотон в состоянии с квантовыми числами и Так как масса ядра предполагается бесконечной, то в процессе столкновения меняется лишь его импульс, а энергия остается прежней конечная величина, Таким образом, начальное и конечное состояния всех остальных частиц удовлетворяют закону сохранения энергии, закон же сохранения импульса для них не имеет места.

Энергия возмущения состоит из двух членов,

причем первое слагаемое

описывает кулоновское взаимодействие ядра (заряд ) и электрона (плотность заряда ), а второе слагаемое

где

представляет собой энергию взаимодействия электрона с полем излучения.

Фиг. 76. Диаграммы Фейнмаиа низшего порядка для тормозного излучения. Двойные линии относятся к бесконечно тяжелому ядру, одиночные линии —k электронам, волнистые линии —k фотонам

Имеем

и

Подставляя выражения (219.4) и (219.5) в формулы (219.2) и (219.3), после интегрирования по всему пространству получаем

и

Чтобы найти отличные от нуля матричные элементы, соответствующие процессу, изображенному на диаграмме фиг. 76, а, нужно

взять из члены, пропорциональные и из члены, пропорциональные Имеем

и

Что касается первой вершины, то здесь у нас нет никакого закона сохранения, во второй же вершине должен выполняться закон сохранения импульса

Отсюда с учетом ортогональности векторов и и получаем

В случае процесса, изображенного на диаграмме фиг. 76,б, мы должны взять из члены, пропорциональные и из — члены, пропорциональные

и

В этом случае закон сохранения импульса имеет место в первой вершине

и, следовательно,

Энергия начального состояния

должна равняться энергии конечного состояния

поэтому

Для промежуточных состояний, согласно (219.9а) и (219.96), имеем

и

Пользуясь введенными обозначениями, матричный элемент второго порядка можно записать в виде

Подставляя сюда выражения для матричных элементов (219.8а), (219.86) и (219.11а), (219.116), а также выражения для импульсов находим

Для получения сечения тормозного излучения необходимо воспользоваться золотым правилом и, следовательно, прежде всего вычислить плотность конечных состояний Здесь имеется небольшая трудность, так как из-за отсутствия закона сохранения импульса направления, в которых вылетают конечные частицы, являются независимыми. Для одной частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 1), как мы знаем, имеет место формула

Для другой частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 2) плотность состояний определяется аналогичной формулой, но ширина интервала и его положение на оси энергий в силу закона сохранения энергии зависят от ширины и положения интервала для первой частицы. Таким образом, необходимо положить

Если считать, что индекс 1 относится к электрону а индекс 2 — к фотону то в нашем частном случае имеем

и

Из общей формулы для дифференциального сечения,

после подстановки в нее выражений (219.17) и (219.18) получаем

Здесь элемент телесного угла в направлении вылета электрона, элемент телесного угла в направлении вылета фотона, и — его энергия и поляризация соответственно.

Нам осталось получить формулу для энергетического спектра тормозных фотонов безотносительно к его поляризации и направлениям вылета обеих частиц. Это означает, что последнее выражение, мы должны просуммировать по А, и проинтегрировать по всем угловым переменным.

Фиг. 77. Тормозное излучение.

Показаны направления осей выбранной системы координат.

В задачах рассматриваемого типа процедура интегрирования по угловым переменным довольно утомительна, однако в настоящем случае, как мы убедимся ниже, все обстоит очень просто.

На фиг. 77 показана система координат, в которой удобнее всего рассматривать три интересующих нас вектора импульса. Эти векторы некомпланарны, т.е. если векторы в выбранной системе координат располагаются в плоскости то вектор имеет составляющую вдоль оси у. Имеем

и

Из формулы (219.14) следует, что поскольку величина и велика, поэтому в нижеследующих расчетах мы воспользуемся типичным для нерелятивистской теории приближением и пренебрежем импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона. Это позволяет упростить энергетические знаменатели, фигурирующие в формуле (219.19). Пользуясь соотношениями (219.12), (219.15) и (219.16), получаем

В обоих этих выражениях можно пренебречь двумя последними членами, а величину заменить, согласно (219.14), разностью Таким образом, имеем

Следовательно, энергетические знаменатели в формуле (219.19) в этом приближении оказываются равными по величине и противоположными по знаку, так что мы можем просто вычесть один числитель из другого, полагая либо либо

Чтобы произвести суммирование по X, необходимо возвести эти выражения в квадрат и сложить.

Наконец, резерфордовский знаменатель в формуле (219.19) в том же приближении можно записать в виде

Собирая рассмотренные множители вместе, легко заметить, что углы фигурируют только в сумме, содержащей квадраты выражений (219.21). Интеграл по указанным угловым переменным вычисляется элементарно, и мы находим

Согласно (219.22), точно такое же выражение, но только возведенное в квадрат, имеется у нас и в знаменателе, поэтому

где через обозначено сечение тормозного излучения фотонов с энергиями в интервале безотносительно к направлению их вылета и поляризации и безотносительно к направлению вылета электронов. Последний интеграл вычисляется элементарно,

так что окончательно имеем

Из этой формулы с помощью соотношения (219.14) можно исключить импульсы, выразив величину через энергию падающего электрона и энергию тормозного фотона:

Описываемый полученной формулой энергетический спектр тормозных фотонов показан на фиг. 78. Мы видим, что в области очень малых энергий фотона имеется сингулярность, которую обычно называют инфракрасной расходимостью.

Фиг. 78. Распределение интенсивности тормозного излучения.

Учет экранировки кулоновского поля устраняет логарифмическую расходимость при

Замечание. Последовательное релятивистское решение задачи, а ркже вопросы, связанные с экранировкой, см. в книге Гайтлера: Heitler W., Quantum Theory of Radiation, 3rd ed., Oxford, 1954, pp. 242-256. (Имеется перевод: Гайтлер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956, стр. 275-290.- Прим. перев.)