Задача 141. Степени спиновых операторов

Показать, что оператор где и -спиновые операторы частицы 1 и частицы 2, выражается линейно через оператор

Решение. Оператор полностью описывается равенствами

демонстрирующими его действие на три триплетные и одну синглетную функции, поскольку они образуют полный ортонормированный набор функций. Таким образом, нам достаточно рассмотреть действие оператора на функции указанного полного набора. Повторное применение оператора к обеим частям равенств (141.1) немедленно дает

Отсюда следует, что оператор линейно выражается через оператор

Подставляя выражение (141.3) в равенства (141.2) и. учитывая (141.1), находим

Отсюда следует

или

Таким образом, мы, например, имеем

Замечание. Представление энергии взаимодействия, зависящего от спина, в виде (140.6) в предыдущей задаче действительно является единственным, так как замена выражения (140.6) рядом по степеням не может изменить окончательного результата. Решение задачи выглядело бы еще проще, если бы мы рассматривали ряд по степеням обменного оператора