Задача 166. Неупругое рассеяние

Пучок протонов сталкивается с мишенью, состоящей из атомов щелочного металла. Рассматривая взаимодействие между протоном и атомом в качестве возмущения, найти сечение неупругого рассеяния, сопровождающееся возбуждением оптического электрона. Считать, что оптический электрон первоначально находился в своем основном состоянии. Отдачу атомного остова не учитывать (бесконечно тяжелое ядро).

Решение. Мы будем пользоваться атомными единицами и обозначим посредством радиус-векторы соответственно протона и электрона. Тогда гамильтониан можно представить в виде суммы трех слагаемых:

где первое слагаемое,

описывает свободное движение протона массы второе слагаемое,

описывает движение оптического электрона в поле атомного остова и третье слагаемое,

описывает взаимодействие протона с атомным остовом и подвергающимся возбуждению оптическим электроном. Это последнее слагаемое гамильтониана следует рассматривать в качестве возмущения. Такой подход к задаче правомерен лишь до тех пор, пока энергия протона не слишком велика и он не может возбудить ни одного электрона атомного остова.

Обозначим через собственную функцию оператора принадлежащую собственному значению (здесь индекс стоит вместо совокупности квантовых чисел примем значение относится к основному состоянию). Мы имеем

Пусть далее есть импульс налетающего протона, тогда в нулевом порядке теории возмущений, т. е. в пренебрежении оператором решение уравнения Шредингера будет иметь вид

Волновую функцию первого приближения можно разложить по полной системе ортонормированных функций

Здесь знак суммы следует понимать как суммирование по состояниям дискретного спектра и интегрирование по состояниям непрерывного спектра, а штрих означает, что суммирование не распространяется на состояние с

Подставляя выражение (166.7) в уравнение Шредингера, получаем

В первом порядке теории возмущений мы можем пренебречь в левой части этого уравнения членом с Вводя обозначейие

мы, таким образом, получаем

Умножая последнее уравнение на функцию и интегрируя по переменной приходим к совокупности независимых дифференциальных уравнений для функций

где

Каждое из уравнений (166.10) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение и его можно решить с помощью функции Грина, т. е. мы имеем

Чтобы получить формулу для сечения рассеяния, мы должны теперь исследовать асимптотическое поведение решения (166.12) при . Интеграл в выражении (166.11) для функции при больших значениях убывает как так как оператор представляет собой энергию взаимодействия протона с нейтральным атомом и, согласно равенству (166.4), стремится к при Таким образом, наличие множителя в подынтегральном выражении (166.12) практически ограничивает размеры области интегрирования размерами атома. Поэтому при с» можно предположить, что следовательно,

Последнее выражение представляет собой расходящуюся сферическую волну, которую можно записать в виде

где амплитуда рассеяния

является функцией угла, на который рассеивается протон. Отсюда следует, что дифференциальное сечение неупругого рассеяния протона, сопровождающееся переходом оптического электрона

в щелочном металле в состояние будет равно

Множитель появляется здесь из-за того, что скорость рассеянного протона, а следовательно, и связанная с ним плотность тока вероятности меньше соответствующих величин, относящихся к налетающему протону. Этот вывод сразу же следует из формулы (166.8), если ее интерпретировать как закон сохранения энергии.

Остановимся теперь несколько подробнее на вопросе об угловом распределении неупруго рассеянных протонов. Прежде всего введем в экспоненту (166.15) ьектор направление которого совпадает с направлением вектора положив

Используя соотношения (166.11) и (166.4), получаем

Очевидно, что член с не даст вклада в неупругое рассеяние Формально это следует из ортогональности функций а физически обусловлено тем, что взаимодействие протона с атомным остовом не может привести к возбуждению электрона, который не является частью этого остова. Вводя далее переданный импульс получаем

Под знаком внутреннего интеграла стоит выражение, состоящее из двух сомножителей, каждый из которых можно разложить в ряд по сферическим гармоникам, зависящим от углов и соответственно между векторами и векторами

и

где

Выбирая направление вектора в качестве направления полярной оси сферической системы координат, мы можем применять к функции теорему сложения сферических гармоник:

где соответственно сферические углы векторов Теперь во внутреннем интеграле в формуле (166.17) можно произвести интегрирование по углам. Мы имеем

Воспользовавшись обозначением

вместо (166.17) получим

Интеграл (166.19) вычисляется точно. Взяв в качестве переменной интегрирования величину и положив с учетом соотношений (166.18) находим

Последние интегралы хорошо известны из теории бесселевых функций:

так что выражение, стоящее в фигурных скобках, оказывается равным

Следовательно,

В расчете амплитуды рассеяния (166.20) можно сделать еще один шаг. Мы знаем, что состояния содержат в качестве множителя сферическую гармонику. Так как основное состояние не зависит от углов, то под знаком интеграла в (166.20) стоят произведения различных пар сферических гармоник. В силу ортогональности последних от суммы, фигурирующей в (166.20), после интегрирования останется только один член. Учитывая далее, что

(ось квантования направлена по вектору и что

получаем

Состояния с различными значениями квантового числа вырождены. При неупругом рассеянии оптический электрон может перейти только в такое возбужденное состояние, которое является линейной комбинацией этих вырожденных состояний и в котором проекция момента количества движения на направление переданного импульса равна нулю. Что касается квантового числа то здесь никакого правила отбора не существует. В заключение следует отметить, что амплитуда (166.23) действительно зависит от угла рассеяния так как от этого угла зависит величина

Входящую сюда величину можно определить из закона сохранения энергии (166.8); от угла она, разумеется, не зависит.

Замечание. Эти же результаты можно получить, применив к рассмотренному процессу золотое правило Ферми (см. задачу 183).