Задача 215. Полная вероятность перехода

Электрон переходит с верхнего -уровня на нижний испуская при этом один фотон. Выяснить, какова вероятность указанного перехода безотносительно к направлению испускания фотона и его поляризации. В качестве примера рассчитать среднее время жизни атома водорода в возбужденном -состоянии.

Решение. В предыдущей задаче была рассчитана дифференциальная вероятность излучения фотона в элемент телесного угла в направлении для случаев и обоих состояний поляризации. С помощью этих формул после суммирования по состояниям поляризации получаем

После интегрирования по направлениям вылета фотонов для вероятности перехода из -состояния в -состояние независимо от значений квантового числа получается одно и то же выражение:

Выражение для радиального интеграла было определено в предыдущей задаче, поэтому теперь можно приступить непосредственно к рассмотрению примера. Атом водорода, находящийся в возбужденном -состояиии, может перейти лишь в основное -состояние. В атомных единицах является единицей длины) волновые функции этих двух состояний записываются в виде

и

Таким образом, с учетом выражения (214.5) получаем

или, если вернуться к обычным единицам,

Частоту излучаемого света со можно определить из формулы энергетических уровней атома водорода:

Подставляя теперь выражения (215.4) и (215.5) для в формулу (215.2), после некоторой перегруппировки множителей находим

Величина, обратная этой вероятности перехода, имеет смысл среднего времени жизни возбужденного -состояния атома водорода. Имеем

Множитель

можно рассматривать в качестве удобной единицы времени, коль скоро дело касается времен жизни возбужденных состояний атома. Множитель

представляет собой величину, обратную постоянной тонкой структуры. Таким образом, числовое значение среднего времени жизни -состояния атома водорода оказывается равным