VII. Теория излучения
Задача 210. Квантование шредингеровского волнового поля
Записав подходящим образом энергию, импульс и электрический заряд шредингеровского волнового поля в свободном пространстве, обсудить процедуру квантования этого поля в соответствии со статистикой Бозе и статистикой Ферми.
Решение. Будем рассматривать уравнение Шредингера для свободной частицы в качестве уравнения для классического волнового поля 
которое, таким образом, представляет собой скалярную функцию пространственных координат и времени. Если пользоваться обычной нормировкой, то энергия, импульс и электрический заряд этого поля определяются соответственно (см. задачи 3 и 5) следующими интегральными выражениями:
и
Здесь 
следует рассматривать как феноменологические параметры, которые пока еще никак не связаны с физическими массами и зарядами частиц.
Как мы знаем, шредингеровское поле должно удовлетворять двум сопряженным волновым уравнениям
Частные решения этих уравнений имеют вид плоских волн, которые мы нормируем, вводя куб периодичности произвольного объема 
Тогда общее решение можно записать следующим образом:
причем закон дисперсии, согласно (210.4), имеет вид
Если теперь общее решение (210.5) подставить в выражения (210.1)-(210.3) и воспользоваться условием ортонормированности плоских волн,
то нетрудно показать, что
Теперь мы приступаем к квантованию развитой выше классической теории. Волновую функцию заменяем оператором действующим на гильбертовы векторы состояний 
в пространстве числа частиц. Такой же смысл имеют теперь и коэффициенты Фурье 
фигурирующие в разложении (210.5). При этом операторы с и эрмитово сопряженные с ними операторы 
необходимо подобрать таким образом, чтобы собственные значения произведения скск были целыми числами, а именно:
При таком подходе все три выражения (210.7) также представляют собой операторы. Их собственные значения определяются формулами
Этот набор собственных значений описывает состояния системы невзаимодействующих частиц, из которых 
находятся в состоянии к и соответственно имеют энергию 
импульсрк и заряд 
Чтобы квантование приводило к требуемым собственным значениям (210.8), операторы 
должны удовлетворять
следующим перестановочным соотношениям:
Отсюда, как нетрудно проверить, следует, что перестановочные соотношения для волновых операторов должны иметь вид
