Задача 204. Проблема Кеплера. Радиальные функции при положительных энергиях
Электрон, помещенный в кулоновское поле, обладает положительной энергией, так что 
Найти радиальные волновые функции и выяснить их асимптотическое поведение.
Решение. Так как в рассматриваемом случае 
то соотношения (202.3) удобно заменить теперь соотношениями
в которых величина 
имеет смысл волнового числа на бесконечности. Этим соотношениям можно придать иную форму:
Наша задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений
По аналогии с задачей 202 будем искать решение в виде
где
Вводя обозначения
и новую переменную
после несложных вычислений получаем
и
Произвольно нормированное решение дифференциального уравнения (204.7), регулярное в начале координат, записывается в виде
Пользуясь далее общей формулой
с помощью (204.8) получаем
Так как величина 
действительная и положительная, то, согласно соотношению (204.6), переменная 
является чисто мнимой и 
поэтому мы можем сразу воспользоваться асимптотической формулой
Таким образом, имеем
и
Второй член в фигурных скобках в выражении для функции 
и первый член в фигурных скобках в выражении для функции 
раз меньше других членов, фигурирующих в этих выражениях, поэтому их можно отбросить. В результате с учетом соотношений (204.3) получаем
где постоянные комплексные амплитуды определяются выражениями
Разумеется, постоянные 
могут отличаться лишь фазовым множителем, так как сходящаяся и расходящаяся парциальные
волны должны иметь одинаковые амплитуды. Действительно, нетрудно показать, что
а, следовательно, оба множителя, которыми отличаются друг от друга постоянные 
на самом деле являются фазовыми множителями. Для второго из них это очевидно. Что же касается первого множителя, то мы имеем
поскольку
Таким образом, окончательно получаем
где
Замечание. Этот результат можно сравнить с результатом нерелятивистской теории, рассмотрев предельный случай В этом случае 
и
Фигурирующую здесь величину 
с помощью соотношений (204.5) и (204.16) можно выразить через энергию 
а затем через скорость электрона 
на бесконечности. С учетом известной формулы
получаем
и, следовательно, величина 
совпадает с параметром к, введенным в задаче 110. На основании соотношения (204.16), кроме того, заключаем, что величина 
есть импульс электрона на бесконечности. Таким образом, два первых члена в аргументе синуса в формуле (204.17) полностью согласуются с полученным в нерелятивистской теории выражением. В том же приближении постоянный сдвиг фазы вычисляется с помощью соотношений
Мы имеем
Если учесть теперь, что знак волновой функции не играет никакой роли и что, следовательно, можно отбросить постоянный сдвиг фазы, равный 
то интересующее нас асимптотическое выражение окончательно запишется в виде
Полученный результат полностью согласуется с результатом задачи 111, если принять во внимание, что здесь мы имели дело с кулоновским притяжением.
