Задача 177. Вариационный метод для модели атома Томаса — Ферми

В вариационной задаче, эквивалентной дифференциальному уравнению Томаса — Ферми, использовать в качестве пробных функций функции Тайтца

считая а параметром Ритца.

Решение. Дифференциальное уравнение

эквивалентно вариационной задаче об экстремуме интеграла

при фиксированные граничных условиях Подставляя удовлетворяющую граничным условиям пробную функцию (177.1) в интеграл (177.3), получаем

Для вычисления этого интеграла положим во втором слагаемом и воспользуемся формулой

справедливость которой нетрудно проверить. В результате находим

Таким образом, условие экстремума дает

Это значение а лишь слегка отличается от значения которое, как было показано в предыдущей задаче, удовлетворяет

точному условию нормировки

В нашем же случае значение интеграла равно

т. е. приближенная функция, минимизирующая значение интеграла соответствует наличию в атоме электронов.