Задача 177. Вариационный метод для модели атома Томаса — Ферми
В вариационной задаче, эквивалентной дифференциальному уравнению Томаса — Ферми, использовать в качестве пробных функций функции Тайтца
считая а параметром Ритца.
Решение. Дифференциальное уравнение
эквивалентно вариационной задаче об экстремуме интеграла
при фиксированные граничных условиях
Подставляя удовлетворяющую граничным условиям пробную функцию (177.1) в интеграл (177.3), получаем
Для вычисления этого интеграла положим во втором слагаемом
и воспользуемся формулой
справедливость которой нетрудно проверить. В результате находим
Таким образом, условие экстремума
дает
Это значение а лишь слегка отличается от значения
которое, как было показано в предыдущей задаче, удовлетворяет
точному условию нормировки
В нашем же случае значение интеграла равно
т. е. приближенная функция, минимизирующая значение интеграла
соответствует наличию в атоме
электронов.