Задача 203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода

Для атома водорода фигурировавший в предыдущей задаче параметр совпадает с зоммерфельдовской постоянной тонкой структуры

Этот параметр достаточно мал, и для анализа полученных выше результатов можно пользоваться степенными разложениями. С помощью указанных разложений подтвердить нерелятивистскую теорию и найти первые релятивистские поправки к ней.

Решение. Раскладывая по степеням а показатель определяемый соотношением (202.5), получаем

Подставляя это разложение в формулу для энергетических уровней (202.17) и вводя главное квантовое число

находим

или

Так как

то формула для уровней энергии водорода с учетом первой релятивистской поправки приобретает вид

Здесь первый член представляет собой энергию покоя, второй совпадает с нерелятивистской бальмеровской энергией (см. задачу 67) и, наконец, последний член дает первую релятивистскую поправку, пропорциональную составляющую примерно энергии связи. Так как эта поправка зависит от обоих квантовых чисел то каждый нерелятивистский уровень энергии расщепляется на несколько близко расположенных подуровней, о совокупности которых говорят как о тонкой структуре уровней атома водорода.

Рассмотрим теперь степенное разложение параметра а, который определяется соотношением (202.3) и имеет размерность длины. Это разложение записывается в виде

Если в выражении, заключенном в квадратные скобки, пренебречь релятивистской поправкой, то в результате получится боровский радиус электронной орбиты атома водорода. Так как отношение входит в качестве аргумента в вырожденные гипергеометрические функции и так как в выражения (202.15) для радиальных волновых функций входит множитель то размеры атома водорода определяются величиной параметра а точно таким же образом, как и в нерелятивистской теории.

Чтобы от релятивистских волновых функций (202.15) перейти к волновым функциям нерелятивистской теории Шредингера, необходимо рассмотреть степенные разложения параметров определенных соответственно соотношениями (202.3) и (202.10). Мы имеем

В нерелятивистском приближении множитель, стоящий при второй гипергеометрической функции в формулах (202.15), принимает вид

и, следовательно, по порядку величины равен единице (исключением является случай когда указанный множитель также равен нулю). Так как параметр в рассматриваемом приближении в силу (203.6) по порядку величины равен а, то функция примерно в 100 раз больше функции Поэтому в нерелятивистском приближении радиальные волновые функции

(нормировка произвольная) определяются соотношениями

Если теперь в выражении для функции положить то оно действительно перейдет в выражение для шредингеровской волновой функции [см. соотношение (67.12)]

где В этом можно убедиться следующим образом. С учетом равенства из определения главного квантового числа (203.2) следует, что поэтому и

Воспользуемся теперь общей формулой

и, учтя равенства а преобразуем с помощью этой формулы выражение, стоящее в фигурных скобках:

к виду

Таким образом, выражение (203.9) действительно переходит в выражение (203.9а).

Чтобы получить нерелятивистское приближение для решений второго типа, требуется специальное рассмотрение. В результате замены величины величиной функция становится малой, а функция -большой, поэтому в нерелятивистском приближении (нормировка опять произвольная) мы должны положить

Так как в рассматриваемом случае то теперь имеем

Чтобы убедиться, что последнее выражение совпадает с (203.9а), воспользуемся общими формулами

и

С их помощью нетрудно показать, что с точностью до постоянного множителя для функции получается выражение

Так как, согласно (203.2),

и, кроме того,

то первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции опять оказывается равным следовательно, полученное выше выражение совпадает с (203.9а).

До сих пор мы рассматривали величину I просто в качестве удобного параметра, не интересуясь его физическим смыслом. Чтобы восполнить этот пробел, вычислим для обоих типов решений среднее значение оператора Пользуясь соотношением

нетрудно показать, что в обоих случаях интересующее нас среднее значение описывается формулой

Для решений первого типа функция раз меньше функции и ее можно не учитывать, следовательно, в этом случае

и мы имеем Для решений второго типа можно пренебречь по сравнению с и получить

и, следовательно, в этом случае Именно такими подстановками мы и пользовались в приведенных выше расчетах.

Другими словами, в нерелятивистском приближении, когда функции больше не входят одновременно в один и тот же спинор, I снова становится хорошим квантовым числом.

Дополнение. Как мы показали, собственные спиноры связаны с двухкомпонентными функциями

и

и могут быть двух типов:

причем для решений и для решений Приближенно мы, таким образом, имеем

Рассматриваемое приближение соответствует нерелятивистской двухкомпонентной теории спина, в которой для волновых функций для волновых функций т. е. при заданном значении квантового числа волновые функции не содержат сферических гармоник с различными значениями

Кроме того, мы показали, что радиальная часть "больших" компонент спинора определяется формулой

где а радиальная часть "больших" компонент спинора определяется формулой

где . Эти решения нормируемы только в том случае, когда первые аргументы вырожденных гипергеометрических функций равны нулю или целому отрицательному числу. Возможные состояния атома водорода, отвечающие низшим значениям полного момента, приведены в следующей таблице:

(см. скан)

Соответствующие этим состояниям радиальные волновые функции (либо f, либо g) совпадают с радиальными волновыми функциями нерелятивистской теории, которые подробно рассмотрены в задаче 67. Угловые же части волновых функций являются двухкомпонентными в полном согласии с нерелятивистской теорией спина, разобранной в задаче 133.

Если отбросить энергию покоя, то, согласно соотношению (203.4), уровни энергии описываются формулой

где

(выше мы пользуемся атомными единицами, для перехода к обычным единицам приведенное выражение следует умножить на это нерелятивистская бальмеровская энергия связи, а

— релятивистская поправка к ней. Энергии первых трех уровней и релятивистские поправки к ним указаны в приводимой ниже таблице.

(см. скан)

Приведенные данные показывают, что чем ниже уровень, тем сильнее он расщепляется. Именно по этой причине красная линия (переход ) при грубом разрешении представляется дублетом, компоненты которого расположены на расстоянии

или