Задача 218. Эффект Комптона

Ограничившись нерелятивистской теорией, рассмотреть рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне.

Решение. При наличии поля излучения плотность электрического тока шредингеровского поля электронов описывается формулой

а взаимодействие полей и А имеет вид

Подставив в энергию взаимодействия вместо квантованного

шредингеровского поля выражение

а вместо квантованного поля излучения выражение

легко заметить, что энергия (она возникает из члена с дает вклад в рассеяние уже в первом порядке теории возмущений, энергия же (она возникает из члена с дает вклад в рассеяние лишь во втором порядке теории возмущений. По этой причине мы сосредоточим наше внимание на энергии взаимодействия

Возникновение этого члена в энергии взаимодействия легко объяснимо и с точки зрения классических представлений. Напряженность электрического поля световой волны

падающей на электрон, приводит его в движение, так что

и следовательно,

В результате возникает индуцированная плотность тока

где плотность заряда. Согласно же теории Максвелла, взаимодействие тока и поля излучения имеет вид

Если сюда подставить выражение

то в результате мы придем к формуле (218.5).

При комптоновском рассеянии начальный фотон, находящийся в состоянии с квантовыми числами и начальный электрон с импульсом уничтожаются и заменяются фотоном в состоянии

с квантовыми числами к и X и электроном с импульсом Такой процесс в первом порядке теории возмущений описывается тем членом гамильтониана, который содержит комбинацию операторов

Матричный элемент интересующего нас члена энергии взаимодействия (218.5) имеет вид

Фигурирующий здесь интеграл не обращается в нуль лишь при условии

т. е. в том случае, если в рассматриваемом процессе выполняется закон сохранения импульса. С учетом закона сохранения импульса выражение (218.7) принимает вид

Для определения сечения рассеяния воспользуемся золотым правилом. Имеем

где плотность конечных состояний описывается выражением

а суммарная энергия фотона и электрона в конечном состоянии имеет вид

и

Перейдем теперь к рассмотрению поляризации. На фиг. 75 импульсы фотона до и после рассеяния расположены в плоскости фигуры. Оба вектора также лежат в этой плоскости, а векторы и и (на фигуре они не показаны) перпендикулярны к ней. Скалярные произведения, стоящие в выражении (218.9), как следует непосредственно из фиг. 75,

имеют вид

Поэтому в рассматриваемом процессе возможны лишь те переходы, при которых векторы, характеризующие поляризацию соответственно до и после рассеяния, либо оба лежат в плоскости векторов либо оба перпендикулярны ей.

Фиг. 75. Эффект Комптона. Векторы характеризующие поляризацию в начальном состоянии и конечном состоянии расположены в плоскости векторов и векторы перпендикулярны этой плоскости (на фигуре они не показаны).

В первом случае вероятность перехода пропорциональна во втором случае она от угла рассеяния не зависит. Если вначале свет не поляризован, то необходимо вероятность перехода усреднить по поляризации А, и просуммировать по конечной поляризации Таким образом, получаем

Ниже будем предполагать, что в начальном состоянии электрон покоился. Это означает, что

тогда с учетом формулы (218.12) закон сохранения энергии можно записать в виде

Так как

то предыдущее равенство представляет собой квадратное уравнение относительно Его решение имеет вид

Поскольку, далее, в силу (218.16)

то выражение (218.11) для плотности конечных состояний можно представить в виде

Таким образом, с учетом выражений (218.9), (218.10), (218.14) и (218.18) окончательно получаем

где величина А определяется соотношением (218.17).

До сих пор все наши формулы в рамках нерелятивистской теории были совершенно точными, но, разумеется, ими следует пользоваться только в том случае, если кинетическая энергия электронов мала по сравнению с

поэтому в формулах (218.17) и (218.19) целесообразно прибегнуть к разложению в ряд по степеням отношения Имеем

и

Отсюда после элементарного интегрирования по угловым переменным получаем выражение для полного сечения рассеяния:

Как хорошо известно из классической электродинамики, в длинноволновом приближении сечение рассматриваемого процесса описывается формулой Томсона:

Фигурирующий в выражении (218.21) дополнительный множитель представляет собой первую квантовую поправку, благодаря

которой величина сечения уменьшается с ростом энергии фотона Разумеется, мы можем ограничиться только этой поправкой лишь в том случае, если т.е. если длина волны падающего света велика по сравнению с комптоновской длиной волны или мы имеем

Замечание 1. Если то вклад от члена энергии взаимодействия (218.2) во втором порядке теории возмущений равен нулю. При релятивистском рассмотрении интересующего нас процесса обычно для плотности тока используется выражение (199.1), так что комптоновские переходы оказываются возможными лишь во втором порядке теории возмущений. Однако и в релятивистском случае решению можно придать форму, полностью аналогичную приведенной выше, если разбить выражение для плотности тока на две части, как это было сделано в задаче 199.

Замечание 2. Если энергия фотонов велика, то для описания электронов необходимо пользоваться уравнением Дирака. При этом вместо формулы (218.21) получается формула Клейна-Нишины. Следует, однако, заметить, что наше приближение оказывается хорошим в довольно широкой области энергий. Так, например, при из (218.21) получаем а точная формула Клейна — Нишины дает 0,737. Далее при соответственно имеем 0,333 и 0,431. Фактическая величина сечения рассеяния уменьшается с ростом энергии значительно медленнее, чем это следует из нашей приближенной формулы. Так, например, при вместо точного значения 0,0215 получаем значение