Задача 175. Теорема вириала для модели атома Томаса-Ферми

С помощью метода, развитого в задаче 151, доказать теорему вириала для модели атома Томаса — Ферми. В качестве следствия этой теоремы получить связь между величинами определенными в предыдущей задаче [см. (174.20)], и выяснить, каков относительный вклад составных частей энергии атома в его полную энергию.

Решение. Пользуясь масштабным преобразованием, заменим функцию набором функций

каждая из которых удовлетворяет условию нормировки

В результате отдельные части энергии электронов [выражения (174.2) — (174.4)] преобразуются к виду:

Таким образом, получаем

Так же как и в задаче 151, мы должны потребовать, чтобы при Из этого требования сразу же следует теорема вириала

Подставляя в последнее равенство выражения (174.18), получаем

в полном согласии с числовыми значениями (174.20). Различные части энергии электрона (174.18) теперь можно выразить через величину Мы имеем

где

Отсюда для полной энергии атома получаем

что опять-таки находится в согласии с числовым результатом, найденным в конце предыдущей задачи. Как и должно быть, сравнение выражений (175.5) и (175.3) вновь приводит к теореме вириала.