Задача 175. Теорема вириала для модели атома Томаса-Ферми
С помощью метода, развитого в задаче 151, доказать теорему вириала для модели атома Томаса — Ферми. В качестве следствия этой теоремы получить связь между величинами
определенными в предыдущей задаче [см. (174.20)], и выяснить, каков относительный вклад составных частей энергии атома в его полную энергию.
Решение. Пользуясь масштабным преобразованием, заменим функцию
набором функций
каждая из которых удовлетворяет условию нормировки
В результате отдельные части энергии электронов [выражения (174.2) — (174.4)] преобразуются к виду:
Таким образом, получаем
Так же как и в задаче 151, мы должны потребовать, чтобы
при
Из этого требования сразу же следует теорема вириала
Подставляя в последнее равенство выражения (174.18), получаем
в полном согласии с числовыми значениями (174.20). Различные части энергии электрона (174.18) теперь можно выразить через величину
Мы имеем
где
Отсюда для полной энергии атома получаем
что опять-таки находится в согласии с числовым результатом, найденным в конце предыдущей задачи. Как и должно быть, сравнение выражений (175.5) и (175.3) вновь приводит к теореме вириала.