Г-функция

Г-функция представляет собой обобщение функции

Эта функция определена лишь для целых положительных чисел и удовлетворяет равенству

Функцию можно также определить с помощью интеграла Эйлера

если условиться, что

Г-функция позволяет обобщить соотношения (2) и (3) на случай произвольного комплексного числа

и

если Определенная выше функция является мероморфной и имеет полюсы на отрицательной действительной полуоси. Эти полюсы расположены в точках а вычеты в них равны Частные значения.

Соотношения между -функциями от различных аргументов.

Разложения в виде бесконечных рядов или произведений. Для вычисления комплексного числа

можно пользоваться разложениями

и

где

— так называемая постоянная Эйлера. В частном случае, когда имеем

Асимптотическое поведение. При (тем самым исключаются точки лежащие на действительной отрицательной полуоси, где расположены полюсы -функции) можно воспользоваться формулой Стирлинга:

или

Для точных вычислений часто используется формула

Фигурирующий здесь ряд является асимптотическим. О точности этой формулы позволяет судить приводимая ниже таблица (при расчетах ряд в скобках был заменен 1).

(см. скан)

Функции Бесселя

Решение дифференциального уравнения

можно записать либо в виде

либо в виде

Функция называется функцией Бесселя, а функция функцией Неймана. Если не является целым числом, то можно пользоваться определением

В противном случае (т. е. при где функции не являются линейно независимыми и связаны соотношением

Функцию можно определить и в этом случае, исходя из ее асимптотического поведения (см. ниже).

Функцию Бесселя можно также определить посредством ряда

который сходится на всей комплексной плоскости z с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси (точка является в общем случае точкой ветвления). Функции и называются функциями Ханкеля соответственно первого и второго рода. Эти функции определяются соотношениями

Функции, образующие фундаментальную систему решений (2), принимают действительные значения при действительных значениях а их вронскиан равен Вронскиан фундаментальной системы решений (3) равен Если не есть целое число, то функции образуют третью фундаментальную систему решений с вронскианом, равным

Рекуррентные соотношения. Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (2) и (3), имеют место рекуррентные соотношения:

или

Асимптотические поведение. Для дальнейшего удобно ввести обозначение

Если (т. е. для больших значений в комплексной плоскости z с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси), то можно пользоваться асимптотическими формулами

Функции вида при действительных положительных описывают соответственно расходящиеся и сходящиеся волны. Модифицированные функции Бесселя. Функции

и

или (если не равно целому числу)

принимают действительные значения, когда х действительная и положительная величина. Функция представляет особый интерес благодаря ее асимптотическому поведению при больших значениях х:

Большое число формул для функций К и имеется в задаче 185. В задаче 99 было показано, что решением дифференциального уравнения

является функция

где

В некоторых дифракционных задачах оптики большую роль играет функция Эйри

Аналитическое продолжение в область отрицательных значений х приводит к соотношению

В этой книге функция Эйри использовалась в задаче 40, там же на фиг. 28 приведен ее график. Функцию Эйри можно было бы использовать и в задаче 117, но мы предпочли вернуться непосредственно к функциям Бесселя

Сферические функции Бесселя. Функция Бесселя с индексом где играют в физике большую роль, так как они появляются при решении волнового уравнения методом. разделения переменных в сферических координатах. Обычно вводят функции четырех стандартных типов:

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения

и обладают очень простым асимптотическим поведением:

Для справок приведем значения наиболее часто встречающихся вронскианов:

При имеют место приближенные формулы

Рекуррентные соотношения. Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (15) — (17), справедливы соотношения

Первое из указанных соотношений можно также использовать для определения сферических функций Бесселя при отрицательных значениях

Сферические функции Бесселя являются элементарными функциями. Несколько первых функций приводятся ниже:

и