V. Нестационарные задачи
Задача 179. Двухуровневая система под действием не зависящего от времени возмущения
Система обладает только двумя стационарными состояниями 
с энергиями 
. В момент времени 
когда система находилась в основном состоянии, было включено не зависящее от времени возмущение 
Вычислить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени 
Решение. Пусть Я означает гамильтониан невозмущенной системы, так что два ее возможных стационарных состояния описываются уравнениями
Тогда решение уравнения Шредингера при наличии возмущения
можно выразить через стационарные состояния:
Эта возможность обусловлена тем, что состояния 
образуют полный ортонормированный набор состояний и соотношение (179.3) представляет собой просто напросто разложение состояния 
по указанному полному набору, причем коэффициенты разложения являются функциями времени и должны определяться из начальных условий
Если выражение (179.3) подставить в уравнение (179.2) и умножить это уравнение почленно на 
или на 
то в результате для определения коэффициентов мы найдем два
дифференциальных уравнения первого порядка:
Пусть для краткости
тогда в силу эрмитовости оператора 
диагональные матричные элементы 
будут действительными, а недиагональные матричные элементы будут связаны соотношением
Пользуясь обозначением
есть, очевидно, разность энергий двух рассматриваемых состояний), уравнения (179.5) можно переписать следующим образом:
Решение этой системы ищем в виде
После подстановки выражений (179.8) в систему уравнений (179.7) получаем
Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений обращается в нуль при двух значениях частоты со:
где
Далее имеем
и, следовательно,
Постоянные 
можно исключить, воспользовавшись начальными условиями (179.4). Несложные вычисления приводят к следующему результату:
Отсюда для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоянии получаем
Последнее выражение с учетом (179.10) принимает вид
Вероятность обнаружить систему в исходном основном состоянии определяется выражением
или
Заметим, что сумма выражений (179.13) и (179.14) равна единице. Таким образом, рассматриваемая система осциллирует между двумя стационарными состояниями с периодом 
