Задача 146. Спиновые функции трех частиц

Получить собственные функции операторов для системы трех частиц, обладающих спином 1/2.

Решение. В данном случае оператор суммарного спина можно записать в виде

Его -компонента, очевидно, имеет следующие собственные функции:

В качестве аргумента функции х мы указываем соответствующее собственное значение оператора в единицах Собственные значения трехкратно вырождены. Чтобы устранить указанное вырождение, перейдем к рассмотрению оператора

В задаче 140 мы показали, что

или, более компактно, что оператор

просто взаимно заменяет спиновые состояния частиц 1 и 2:

Другими словами, мы имеем

По этой причине оператор (146.4) называют обменным спиновым оператором для частиц 1 и 2.

Теперь мы можем выразить оператор (146.3) через такие обменные операторы:

Действие этого оператора на первую и четвертую спиновые функции сразу же дает

Таким образом, эти две функции уже сами по себе являются собственными функциями оператора и принадлежат невырожденному собственному значению , или векторной модели они соответствуют параллельной ориентации всех трех спинов по или против оси z.

Не так просто обстоит дело с функциями, принадлежащими вырожденным собственным значениям . Действуя оператором (146.6) на функцию получаем

С другой стороны,

и мы приходим к системе трех линейных однородных уравнений:

Условие обращения в нуль определителя этой системы дает нам кубическое уравнение для собственного значения . Решая это уравнение, находим

Тот же результат получился бы у нас и при действии оператора на функцию только вместо буквы а всюду была бы буква

Для первого из собственных значений (146.9) решение системы (146.8) однозначно принимает вид Используя при записи спиновых функций более подробную символику мы получаем следующий квартет четырех полностью симметричных функций:

Это решение соответствует в векторной модели четырем возможным ориентациям спина 3/2. После подстановки двухкратного корня 1/2 в систему (146.8) все три ее уравнения приводят к одному и тому же соотношению:

что позволяет нам написать но не дает никакой информации относительно Таким образом, имеем

Эти формулы все еще описывают смесь двух различных дублетов, для каждого из которых

Чтобы разделить указанные дублеты и снять оставшееся вырождение, обычно предполагают, что

В первом случае мы получаем дублет

симметричный по отношению к перестановке спинов частиц 2 и 3 символически 1,23), а во втором случае — дублет

антисимметричный по отношению к перестановке спинов частиц

2 и 3 (символически 1,23). Требуя, чтобы именно для спинов частиц 2 и 3 имела место простая симметрия, мы, разумеется, поступаем совершенно произвольно. Другой выбор постоянных например привел бы к спиновой функции с симметрией 12,3. Только дополнительные условия, налагаемые на решение в той или иной конкретной задаче, могут снять это специфическое вырождение.