Главная > Задачи по квантовой механике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 197. Алгебраические свойства волнового спинора Дирака

Дираковская частица помещена в поле с потенциалом Волновой спинор, описывающий состояние частицы, в котором ее спин направлен либо параллельно, либо антипараллельно оси можно считать не зависящим от координат х и у (одномерная задача). Рассмотреть движение частицы, пользуясь, насколько это возможно, клиффордовой алгеброй, не обращаясь к конкретным матричным представлениям. Показать, что задача сводится к нахождению четырех функций переменной удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений. Выяснить, каким образом упомянутые функции связаны с компонентами волновой функции в стандартном представлении.

Решение. Волновой спинор можно записать в виде

где спинор и удовлетворяет одномерному уравнению Дирака

Конструкция выражения, стоящего в левой части этого уравнения, такова, что оно целиком содержится в подтеле, базисными элементами которого являются клиффордовы числа

поэтому решением уравнения должен быть спинор вида

Разумеется, если -решение уравнения Дирака (197.2), то решением будет и любой спинор

где — произвольное, не зависящее от z клиффордово число, в частности любой элемент клиффордовой алгебры, образованный с помощью базисных элементов Далее, очевидно, что спинор коммутирует со спиновым оператором

хотя и не является собственным спинором этого оператора. Обобщенное выражение (197.4) позволяет сделать решение уравнения Дирака собственным спинором оператора Мы имеем

Поэтому, если есть некоторый собственный спинор оператора

то мы получаем

Собственные значения +1 и —1 называются спиральностыо (см. задачу 190). Далее нетрудно убедиться, что

и

представляют собой собственные спиноры оператора принадлежащие соответственно собственным значениям +1 и —1. Действительно,

Таким образом, имеем

где спинор еще необходимо определить путем подстановки выражения (197.3) в уравнение Дирака (197.2). Несложные вычисления дают

причем выше штрих означает дифференцирование по переменной z. Выражение, фигурирующее в левой части равенства (197.10), обращается в нуль в том и только в том случае, когда обращаются в нуль все четыре выражения, стоящие в круглых скобках.

Отсюда следует, что четыре функции А, В, С, D удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

Комбинируя эти уравнения, можно преобразовать систему к более простому виду:

и

Мы видим, что первая пара уравнений полученной системы содержит лишь две неизвестные функции,

Во второй паре уравнений содержатся также только две неизвестные функции

Подставляя полученные результаты в выражение (197.3), окончательно находим

Если функции удовлетворяют уравнениям (197.12а) и (197.126), то оба члена, фигурирующие в правой части выражения (197.14), порознь удовлетворяют уравнению Дирака (197.2). Умножая каждый из этих членов справа на или на [см. выражения (197.8а) и (197.86)], получаем решения уравнения Дирака, которые одновременно являются собственными спинорами оператора

В заключение остается показать, каким образом функции связаны с компонентами им волновой функции в стандартном представлении. Пользуясь стандартным представлением, уравнение Дирака (197.2) можно расписать по компонентам:

Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений (197.12а)

(197.126), находим

или

В случае спиральность равна если же то спиральность равна —1.

1
Оглавление
email@scask.ru