Задача 197. Алгебраические свойства волнового спинора Дирака

Дираковская частица помещена в поле с потенциалом Волновой спинор, описывающий состояние частицы, в котором ее спин направлен либо параллельно, либо антипараллельно оси можно считать не зависящим от координат х и у (одномерная задача). Рассмотреть движение частицы, пользуясь, насколько это возможно, клиффордовой алгеброй, не обращаясь к конкретным матричным представлениям. Показать, что задача сводится к нахождению четырех функций переменной удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений. Выяснить, каким образом упомянутые функции связаны с компонентами волновой функции в стандартном представлении.

Решение. Волновой спинор можно записать в виде

где спинор и удовлетворяет одномерному уравнению Дирака

Конструкция выражения, стоящего в левой части этого уравнения, такова, что оно целиком содержится в подтеле, базисными элементами которого являются клиффордовы числа

поэтому решением уравнения должен быть спинор вида

Разумеется, если -решение уравнения Дирака (197.2), то решением будет и любой спинор

где — произвольное, не зависящее от z клиффордово число, в частности любой элемент клиффордовой алгебры, образованный с помощью базисных элементов Далее, очевидно, что спинор коммутирует со спиновым оператором

хотя и не является собственным спинором этого оператора. Обобщенное выражение (197.4) позволяет сделать решение уравнения Дирака собственным спинором оператора Мы имеем

Поэтому, если есть некоторый собственный спинор оператора

то мы получаем

Собственные значения +1 и —1 называются спиральностыо (см. задачу 190). Далее нетрудно убедиться, что

и

представляют собой собственные спиноры оператора принадлежащие соответственно собственным значениям +1 и —1. Действительно,

Таким образом, имеем

где спинор еще необходимо определить путем подстановки выражения (197.3) в уравнение Дирака (197.2). Несложные вычисления дают

причем выше штрих означает дифференцирование по переменной z. Выражение, фигурирующее в левой части равенства (197.10), обращается в нуль в том и только в том случае, когда обращаются в нуль все четыре выражения, стоящие в круглых скобках.

Отсюда следует, что четыре функции А, В, С, D удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

Комбинируя эти уравнения, можно преобразовать систему к более простому виду:

и

Мы видим, что первая пара уравнений полученной системы содержит лишь две неизвестные функции,

Во второй паре уравнений содержатся также только две неизвестные функции

Подставляя полученные результаты в выражение (197.3), окончательно находим

Если функции удовлетворяют уравнениям (197.12а) и (197.126), то оба члена, фигурирующие в правой части выражения (197.14), порознь удовлетворяют уравнению Дирака (197.2). Умножая каждый из этих членов справа на или на [см. выражения (197.8а) и (197.86)], получаем решения уравнения Дирака, которые одновременно являются собственными спинорами оператора

В заключение остается показать, каким образом функции связаны с компонентами им волновой функции в стандартном представлении. Пользуясь стандартным представлением, уравнение Дирака (197.2) можно расписать по компонентам:

Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений (197.12а)

(197.126), находим

или

В случае спиральность равна если же то спиральность равна —1.