Задача 202. Проблема Кеплера в теории Дирака

Результаты предыдущей задачи применить в частном случае сферически симметричного потенциала

и найти допустимые значения энергии частицы.

Решение. Как было показано в предыдущей задаче, определение допустимых значений энергии дираковской частицы в общем случае центральных сил сводится к решению систем дифференциальных уравнений (201.9а) и (201.96), которым обязаны удовлетворять радиальные части волновых функций. Мы начнем с системы (201.9а). Вводя обозначения

(величина как правило, мала) и

или

систему дифференциальных уравнений (201.9а) в частном случае

потенциала (202.1) можно записать в виде

Решением этой системы мы и займемся.

Прежде всего выясним, как ведут себя функции при очень больших и очень малых значениях В пределе система уравнений (202.4) принимает вид

Нормируемые решения этой системы уравнений имеют форму

Что же касается решений, пропорциональных то рассматривать их нет необходимости. С другой стороны, в предельном случае регулярные решения, как можно ожидать, имеют вид

Подставляя приведенные выражения в (202.4), получаем

Требуя обращения в нуль определителя последней системы уравнений, находим

Комбинируя теперь эти результаты, целесообразно положить

Подстановка последних выражений в (202.4) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

Складывая и вычитая эти уравнения и полагая затем

получаем

причем выше мы ввели обозначения

Согласно первому из уравнений (202.9), имеем

Подставляя эти выражения во второе уравнение системы (202.9), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для функции

Уравнение (202.12) — это уравнение Куммера, а его регулярное в нуле, но произвольно нормированное решение представляет собой вырожденную гипергеометрическую функцию

Пользуясь далее общей формулой

из соотношений (202.11) получаем

Подставляя эти выражения в формулы (202.8), находим функции а затем с помощью формул (202.6) и радиальные функции

Обе фигурирующие здесь вырожденные гипергеометрические функции асимптотически пропорциональны следовательно, полученные решения будут ненормируемыми до тех пор, пока первые аргументы вырожденных гипергеометрических функций не равны нулю или же целому отрицательному числу:

Когда первый аргумент второй вырожденной гипергеометрической функции равен однако при этой функции имеется множитель так что в рассматриваемом частном случае асимптотически расходящиеся члены из выражений (202.15) попросту выпадут. Таким образом, искомые собственные значения полностью определяются условием (202.16). Подставляя в это условие вместо соответственно выражения (202.10) и (202.3), получаем для определения допустимых значений энергии уравнение

Отсюда для уровней энергии водородоподобного атома находим формулу

До сих пор мы еще не рассматривали вторую систему уравнений (201.96) для определения радиальных волновых функций. Нетрудно убедиться, что в этом случае вместо системы (202.4) у нас получилась бы система уравнений, отличающаяся от (202.4) заменой на В результате величины фигурировавшие выше, заменились бы соответственно на а условие для определения собственных значений (202.16) приняло бы вид

Все эти изменения, однако, ничего не меняют в формуле для энергетических уровней, поэтому каждый уровень оказывается двукратно вырожденным.

Если , то определенный соотношением (202.5) показатель в случае основного состояния оказывается чисто мнимой величиной и наше решение перестает удовлетворять граничному условию при Для очень больших значений потенциальная яма становится настолько глубокой, что энергия основного состояния оказывается меньше В силу соотношения (202.3) величина а при этом становится чисто мнимой и функции [см. (202.6)] не будут больше экспоненциально убывать на больших

расстояниях что физически обусловлено проникновением электронной волны в область отрицательных энергий (парадокс Клейна). Более подробно мы обсудим это явление для случая потенциальной ступеньки в задаче 207 (случай в).