Задача 213. Вероятность переходов с излучением одного фотона

Электрон помещен в сферически симметричное поле Вычислить вероятность перехода электрона с верхнего уровня на нижний, если этот переход сопровождается излучением одного фотона. Эффекты запаздывания не учитывать.

Решение. В классической теории Максвелла взаимодействие вещества (электрон) с излучением описывается выражением

где А — векторный потенциал поля излучения, плотность электрического тока частиц вещества. В теории квантованных полей векторный потенциал, согласно результатам задачи 212, записывается в виде

Выражение для плотности электрического тока можно написать, воспользовавшись результатами квантования шредингеровского поля. Имеем

Отсюда с помощью формулы

(заряд электрона равен получаем

Здесь одночастичные волновые функции, явный вид которых можно найти путем решения уравнения (213.3); индекс фактически означает совокупность трех квантовых чисел. Величины являются операторами, введенными в задаче 210, и подчиняются перестановочным соотношениям

Спонтанное излучение фотона происходит в процессе перехода электрона из начального состояния в конечное состояние На языке теории квантованного шредингеровского поля это означает, что электрон, находящийся в начальном состоянии уничтожается, а вместо него рождается электрон в конечном

состоянии В то же самое время происходит рождение фотона в состоянии . Указанный процесс описывается тем членом в энергии взаимодействия, который содержит произведение операторов

Если подставить выражения (213.2) и (213.4) в энергию взаимодействия (213.1), то легко убедиться, что в ней такой член действительно имеется и его можно записать в виде

где

— обычный матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями. Вероятность интересующего нас перехода можно записать с помощью золотого правила (см. задачу 183):

В энергетической шкале плотность конечных состояний полностью определяется фотонами:

где элемент телесного угла, в который вылетает испущенный фотон.

Таким образом, остается лишь вычислить интеграл

фигурирующий в формуле (213.66). Если длина волны излучаемого атомом света велика по сравнению с его размерами, то эффектами запаздывания можно пренебречь, так как в этом случае множитель в подынтегральном выражении с хорошей степенью точности можно заменить единицей. Интегрируя далее второй член по частям, получаем

С помощью уравнений Шредингера для функций нетрудно вывести тождество (см. задачу 187)

Если теперь еще учесть закон сохранения энергии

то матричный элемент (213.66) можно записать в виде

где

После подстановки выражений (213.8) и (213.9) в формулу (213.7) окончательно получаем

Последнее выражение можно представить в более привычной форме, введя вместо частоту

Фигурирующий здесь матричный элемент удобно записать в виде произведения

в котором первый сомножитель зависит только от направления вылета и поляризации излучаемого фотона, а второй полностью определяется внутренними параметрами излучающего атома.