Задача 195. Состояния со смешанной спиральностью

Дана дираковская плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z. Показать, что спинорную амплитуду невозможно выбрать таким образом, чтобы волновая функция была одновременно собственной функцией оператора

Решение

а. Как следует из уравнения Дирака, в случае плоской волны

должно выполняться алгебраическое соотношение

где С — спинорная амплитуда. Оператор определенный соотношением (195.2), не коммутирует с оператором

так как

но

Следовательно, функция не может быть общей собственной функцией обоих указанных операторов.

б. В стандартном представлении соотношение (195.2), если его расписать по компонентам, дает

Отсюда, вводя обозначения

получаем

С другой стороны, задача на собственные значения

где К — собственное значение, если перейти к компонентной записи

дает

и

Обе пары уравнений удовлетворяются только в том случае, если Пользуясь далее уравнениями (195.6), можно исключить компоненты из уравнений (195.4). В результате получаем два соотношения

которые противоречат одно другому. Следовательно, спинор С, удовлетворяющий уравнениям (195.4), не может одновременно удовлетворять уравнениям (195.6).

Замечание. В нерелятивистском пределе компоненты а вместе с ними и вторая пара уравнений (195.6) выпадают из рассмотрения, и противоречие устраняется.