Задача 198. Плотность тока в алгебраической формулировке

Получить выражения для компонент вектора плотности электрического тока в случае состояния, описываемого собственным спинором

найденным в предыдущей задаче.

Решение. Компоненты 4-вектора плотности электрического тока определяются выражениями

В нашем случае

так как клиффордовы числа представляют собой эрмитовы операторы. Таким образом, имеем

Рассматривая компоненты удобно переместить клиффордово число на два места вправо, а клиффордово число на одно место влево:

Олератор коммутирует как с оператором так оператором поэтому

Для компоненты с произведение трех последних множителей записывается в виде

Аналогично для компоненты с имеем

Таким образом, как и следовало ожидать, компоненты плотности тока, перпендикулярные оси оказываются равными нулю.

Выполняя такие же преобразования для компоненты получаем

Так как

то выражение для принимает вид

Перемещая здесь первый множитель на одно место вправо, получаем

В силу соотношений

второй член из фигурных скобок не дает вклада в рассматриваемую компоненту, поэтому окончательно

В случае компоненты совершенно аналогичные выкладки дают

Выражения для компонент представляют собой клиффордовы числа одинаковой структуры. Чтобы выяснить их физический смысл, мы должны сравнить найденные выражения с нормой спинора

которую с помощью тех же преобразований можно записать в виде

Собирая вместе полученные результаты, видим, что компонента плотности тока в направлении оси плотность заряда

и, наконец, норма, если отвлечься от общего множителя

определяются очень простыми с-числовыми выражениями:

и

Как было показано в предыдущей задаче, в стандартном представлении поэтому найденные выражения можно записать по-иному:

Заметим, что в стандартном представлении оператор имеет очень простой вид. Мы имеем

и, следовательно,

т. е. представляет собой диагональную матрицу с единственным отличным от нуля элементом.