Задача 186. Фотоэффект

На атом водорода, находящийся в основном состоянии, падает линейно поляризованная световая волна распространяющаяся в положительном направлении оси Найти угловое распределение фотоэлектронов и вычислить дифференциальное сечение фотоэффекта. Считать, что электроны в конечном состоянии приближенно можно описывать плоскими волнами. Эффекты запаздывания не учитывать.

Решение. Световую волну можно описать, задав вектор-потенциал А в виде

при этом отличные от нуля компоненты напряженностей электрического и магнитного полей будут равны

Усредненный вектор Умова — Пойнтинга направлен вдоль оси и имеет величину

Отсюда для числа фотонов, падающих в 1 с на получаем

Энергия взаимодействия между световой волной и атомным электроном, согласно задаче 125, имеет вид

где

Выше множитель учитывающий запаздывание, мы положили равным 1.

Теперь можно применить метод, развитый в задаче 182. Резонансный знаменатель , обеспечивающий выполнение закона сохранения энергии, имеется лишь в члене Полагая

получаем

Отсюда для вероятности перехода из начального состояния в конечное состояние находим выражение

в котором означает плотность электронов в конечном состоянии. Согласно соотношению (183.8), имеем

Здесь V — нормировочный объем, -величина импульса фотоэлектрона. Дифференциальное сечение фотоэмиссии в телесный угол определяется как отношение поэтому с учетом соотношений (186.2) и (186.4) — (186.6) можно написать

Мы имеем дело с центральным взаимодействием, так что волновая функция основного состояния не зависит от угловых переменных и, следовательно, производная

пропорциональна сферической гармонике первого порядка, поэтому матричный элемент не исчезает только в том случае, если состояние фотоэлектрона является -состоянием.

Пусть конечное состояние фотоэлектрона приближенно описывается плоской волной, тогда

где означает угол между векторами Как уже говорилось, из этой суммы вклад в матричный элемент дает лишь один член -состояние) с

Учитывая далее, что

где — сферические углы соответственно векторов нетрудно выполнить интегрирование по

Таким образом,

так что в силу (186.7) имеем

Для получения хороших количественных результатов фигурирующую в последнем выражении радиальную функцию следует заменить более точным выражением (напомним, что радиальная функция появляется у нас в результате использования приближения плоских волн. Однако угловое распределение фотоэлектронов полученная формула описывает правильно. Такое распределение согласуется и с классическими представлениями, поскольку функция достигает максимума, когда фотоэлектроны вылетают параллельно оси х, вдоль которой направлен вектор электрической напряженности.

Замечание. Для К-электрона

(по поводу экранировочной постоянной см. задачу 178), поэтому интеграл из формулы (186.10) можно записать в виде

где Интеграл вычисляется элементарными методами, и мы получаем

Эта формула справедлива при условии поскольку в противном случае приближение плоских волн становится несостоятельным. Таким образом, имеем

и

Учитывая далее равенство

окончательно получаем

Более точные расчеты подтверждают в общих чертах вытекающие из этой формулы выводы: быстрое увеличение сечения с ростом величины быстрое убывание сечения, примерно как с ростом энергии кванта правильное угловое распределение электронов и, наконец, правильный порядок величины сечения фотоэффекта.

Литература

(см. скан)