Задача 212. Квантование классического поля излучения

Пользуясь классическими выражениями для энергии и импульса максвелловского поля в вакууме, произвести квантование этого поля в соответствии со статистикой Бозе. Считать, что внутри куба объемом поле наложено условие периодичности.

Решение. Классическое поле излучения описывается векторным потенциалом А, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям

из которых при обычной калибровке следует поперечность электромагнитных волн. Чтобы придать физический смысл этим уравнениям, надо либо ввести соотношения, связывающие векторный потенциал А с напряженностями электрического и

магнитного полей,

либо рассмотреть выражения для энергии и импульса поля:

и

Общее решение дифференциальных уравнений (212.1) можно, как обычно, представить в виде суперпозиции плоских волн

где - единичный вектор, а индекс отвечает двум состояниям поперечной поляризации. Векторы должны удовлетворять трем условиям ортогональности:

Выбор нормировочного множителя перед знаком суммы в выражении (212.5) продиктован соображениями удобства. В силу условия периодичности внутри куба объемом значения волнового вектора определяются равенством

где Частота волны со связана с абсолютной величиной волнового вектора законом дисперсии

Так как каждое слагаемое в сумме (212.5) состоит из двух комплексно-сопряженных по отношению друг к другу членов, то векторный потенциал А представляет собой действительную функцию переменных как это и должно быть в классической теории Максвелла.

Подставляя общее решение (212.5) в выражение для энергии (212.3), получаем

Если теперь перемножить выражения, стоящие в двух последних скобках, то после интегрирования по пространству у нас

останутся только те члены с произведениями в которых и только те члены с произведениями в которых В результате выражение, фигурирующее в первой скобке, если еще учесть соотношения (212.6), примет вид

Таким образом, получаем

С помощью аналогичных выкладок нетрудно показать, что выражение для импульса (212.4) приводится к виду

Теперь можно приступить к квантованию классического поля излучения, заменив классические амплитуды операторами которые удобно записать в виде

где действительные нормировочные множители. Мы имеем

В соответствии со статистикой Бозе подчиним операторы и перестановочным соотношениям

и будем считать, что все другие комбинации этих операторов коммутативны. В силу указанных перестановочных соотношений собственные значения операторов обозначаемые ниже через оказываются целочисленными:

при этом собственные значения операторов будут равны (см. задачу 31). Если далее положить

то выражения для операторов энергии и импульса (212.12) примут вид

а их собственные значения будут равны

Таким образом, мы можем интерпретировать величину как число фотонов в состоянии с квантовыми числами причем в указанном состоянии каждый фотон обладает энергией а его импульс направлен вдоль вектора и равен по величине

Из (212.1) следует, что вакуум обладает энергией

(энергия нулевых колебаний поля). Несмотря на то что энергия вакуума бесконечна, ей не следует придавать особого физического смысла. Фактически можно ограничиться рассмотрением разности энергий реального состояния и вакуума

которая всегда конечна. Вклад же нулевых колебаний поля в импульс равен нулю, так как члены суммы (212.17) с попарно сокращаются.

В результате квантования векторный потенциал А становится оператором, порождающим и уничтожающим фотоны. С помощью соотношений (212.5), (212.11) и (212.15) нетрудно показать, что в квантовой теории выражение для векторного потенциала имеет вид