Б. Очень большое число частиц. Квантовая статистика

Задача 167. Электронный газ в металле

В грубом приближении можно считать, что электроны проводимости в металле свободно движутся внутри потенциального ящика, стенки которого совпадают с поверхностью, ограничивающей рассматриваемый кусок металла, и препятствуют выходу электронов проводимости из него. Для куска серебра (плотность атомный вес 108, один электрон проводимости на один ион атома серебра), имеющего форму куба, найти

а) максимальную энергию электрона, когда рассматриваемый электронный газ находится в основном состоянии,

б) среднюю энергию электронов,

в) давление электронного газа. Тепловым возбуждением пренебречь.

Решение. Допустимые значения энергии электронов в куске серебра, имеющем форму куба, объем которого равен согласно задаче 18, определяются формулой

где положительные целые числа В силу принципа Паули в каждом состоянии, описываемом тройкой квантовых чисел имеется два электрона с противоположной ориентацией спинов. Так как в рассматриваемом куске металла мы должны распределить очень большое число электронов, то в дальнейшем нам придется иметь дело в основном с очень большими значениями квантовых чисел.

Рассмотрим пространство с координатами Каждой точке с целочисленными координатами, расположенной в первом октанте этого пространства, соответствует некоторое состояние с энергией (167.1). Обозначим через расстояние от начала координат до рассматриваемой точки нашего пространства, тогда

и можно написать, что число точек первого октанта с целочисленными координатами, заключенных между сферами радиуса равно

"Помещая" в каждую из этих точек по два электрона с противоположной ориентацией спинов, получаем, что между имеются электронов. Учитывая, далее, что энергия (167.1) зависит только от

для числа электронов, энергии которых заключены между значениями находим формулу

или

а. Максимальная энергия электрона, когда рассматриваемый электронный газ находится в основном состоянии, определяется полным числом электронов проводимости Для данного куска металла число -фиксированная постоянная. Таким образом, имеем

Если ввести в рассмотрение плотность

то тогда получаются формулы, в которые не входит объем рассматриваемого куска металла:

или

Поскольку где —масса одного атома серебра то в нашем случае

и формула (167.76) дает для максимальной энергии значение

Эта энергия значительно больше энергии теплового движения при 300 К), поэтому тепловое возбуждение может лишь очень незначительно изменить распределение электронов по энергиям. Этот эффект, называемый вырождением электронного газа (ферми-газ), физически обусловлен малостью массы электрона, входящей в знаменатель выражения (167.76).

В общем случае максимальную энергию называют энергией Ферми электронного газа.

б. Средняя энергия электронов определяется формулой

отсюда с учетом (167.4) получаем

в. Давление электронного газа всегда можно определить, не прибегая к термодинамике. Для этого достаточно рассмотреть работу, которая производится при уменьшении объема газа V на величину

Вся эта работа идет на увеличение суммарной энергии газа на величину поэтому можно написать

С другой стороны, суммарную энергию частиц газа (при можно записать в виде

Согласно формуле (167.76), энергия Ферми зависит от отношения следовательно, от объема V:

Отсюда для давления получаем

Подставляя в эту формулу значения и определенные выше, находим

что составляет примерно 200 000 атм. Это чудовищное давление уравновешивается кулоновскими силами притяжения между электронами проводимости и ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки.