Задача 196. Среднее значение спина

Вычислить среднее значение оператора в состоянии, которое описывается суперпозицией двух плоских волн, распространяющихся в направлении оси и имеющих противоположные спиральности.

Решение. С помощью спинорных амплитуд [см. выражения (190.15) и (190.16), в которых в данном случае необходимо положить ]

отвечающих соответственно положительной и отрицательной спиральностям, мы сконструируем амплитуду смешанного состояния

удовлетворяющую прежнему условию нормировки

Выше — произвольные действительные постоянные. Среднее значение оператора определяется по формуле

Учитывая, что

получаем

Отсюда имеем

или

Таким образом, абсолютная величина среднего значения оператора оказывается всегда меньше 1. В ультрарелятивистском случае, когда параметр приближается к единице, среднее значение стремится к нулю, так что волна оказывается почти полностью поляризованной параллельно или антипараллельно направлению распространения. С другой стороны, в нерелятивистском случае, когда параметр очень мал, становится возможной и поляризация в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Действительно, для значений в этом предельном случае получаем