Задача 190. Плоские волны Дирака с положительной энергией

Для случая положительной энергии найти в стандартном представлении спинорные амплитуды дираковских плоских волн, отвечающие как положительной, так и отрицательной спиральности

Решение. Полагая

и пользуясь стандартным представлением (189.13), для определения четырех компонент амплитуды С получаем систему

уравнений

С помощью соотношений

введем далее параметр через который удобно выражаются важнейшие физические величины, характеризующие движение частицы. Например, импульс частицы, ее кинетическая энергия и ее скорость соответственно имеют вид

Кроме того, полезно ввести сферические углы характеризующие направление вектора

В новых обозначениях система уравнений (190.2) запишется в виде

Таким образом, для определения четырех величин мы имеем систему четырех линейных однородных уравнений. Как нетрудно убедиться, определитель этой системы обращается в нуль, однако при этом он распадается на два сомножителя, каждый из которых по отдельности равен нулю. Отсюда следует, что все четыре величины невозможно выразить через какую-нибудь одну из них — две любые величины могут быть выбраны произвольным образом. Чтобы сделать этот выбор однозначным, мы воспользуемся следующим методом.

Прежде всего найдем собственные функции оператора спиральности

он представляет собой оператор «проекции спина на направление вектора ». Так как в стандартном представлении спиновые матрицы выражаются через одноименные двухрядные матрицы Паули в виде

то в силу определения (190.7) получаем

Обозначим собственное значение оператора спиральности через тогда уравнение для собственных значений

разобьется на пару уравнений, связывающих величины

и такую же пару уравнений, связывающих величины Определитель системы (190.9) обращается в нуль при условии поэтому мы имеем два решения.

1) (спин параллелен вектору

и

2) h = -1 (спин антипараллелен вектору

Что касается величин С и то их выбор все еще произволен.

Подставим найденные результаты в систему уравнений (190.6). С учетом элементарных тождеств

из (190.6) получаем

и

Если теперь воспользоваться условием нормировки

то спинорные амплитуды примут вид

и

Замечание. Как следует из соотношения (190.4в), нерелятивистский случай получается при 1. Если выполнено указанное неравенство, то компонентами спинора можно пренебречь и вернуться тем самым к двухкомпонентной теории спина Паули.