Задача 150. Движение центра масс

В классической задаче многих тел движение центра масс отделяется от относительного движения, если в системе действуют только одни внутренние силы. Показать, что такое отделение возможно и в квантовой механике. Специально рассмотреть случай двух частиц.

Решение. Мы начнем с гамильтониана системы из частиц, на которые не действуют внешние силы:

и заменим координат координатами центра масс и координатами определяющими положение частицы к относительно частицы Мы имеем

и соответствующие формулы для Использование этих координат, разумеется, нарушает естественную симметрию гамильтониана (150.1), так как частица искусственно выделяется из числа других частиц.

Из формул (150.2) легко получаются следующие операторные соотношения:

где суммирование по греческому индексу проводится от 1 до Мы видим, что все смешанные производные взаимно сократились и не вошли в окончательный результат.

Это позволяет разбить гамильтониан на две части:

где первая часть

описывает движение центра масс, а вторая

— относительное движение частиц. Входящая сюда потенциальная энергия

разумеется, также не зависит от координат центра масс. Теперь уравнение Шредингера

допускает разделение переменных. Полагая

получаем

Решение уравнения (150.9) имеет вид плоской волны:

где - вектор с координатами Полученный результат находится в полном соответствии с классическим законом движения центра масс: центр масс движется как материальная точка с массой и постоянным импульсом

Характер относительного движения частиц определяется уравнением (150.10) и совершенно не зависит от движения центра масс.

Наличие в выражении (150.5) третьего члена препятствует дальнейшей факторизации функции Только в двухчастичной задаче, когда часть гамильтониана, связанная с относительным движением, упрощается и принимает

Вводя сюда приведенную массу определенную, как и в классической механике, соотношением

и опуская индексы в обозначениях относительных координат и потенциальной энергии мы приходим к уравнению

представляющему собой уравнение Шредингера для эквивалентной одночастичной задачи.

Замечание. В задаче 67 мы рассматривали атом водорода в рамках одночастичного подхода и считали, что ядро атома покоится. Согласно уравнению (150.15), правильнее было бы вместо массы электрона ввести приведенную массу ядра и электрона Кроме этого, никаких других изменений, учитывающих участие ядра в относительном движении около центра масс, вносить не требуется. Так как масса ядра значительно больше то вместо равенства (150.14) можно пользоваться приближенным соотношением

Сравнивая для примера частоту красной линии в спектре атома водорода

с частотой соответствующей линии в спектре атома дейтерия

и учитывая при этом, что к мы для разности частот получаем

Указанное различие не очень трудно обнаружить. При длине волну 6563 А оно составляет Тяжелый водород был открыт Юри, Брикведде и Марфи в 1931 г., наблюдавшими у линии На в спектре естественного водорода слабый сателлит Da [Urey, Brickwedde, Murphy, Phys. Rev., 40, 1 (1932)].