Задача 170. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения

Высота потенциального барьера, препятствующего холодной эмиссии, значительно понижается из-за сил электростатического изображения. Выяснить, как влияют эти силы на величину плотности тока холодной эмиссии.

Решение. Силы электростатического изображения возникают вследствие искажения поверхностного заряда, вызванного присутствием электрона в области Если величина значительно больше постоянной кристаллической решетки, то мы можем не принимать во внимание детали внутренней структуры металла и рассматривать его как непрерывную среду. В этом случае силы электростатического изображения рассчитываются методами классической электростатики и мы можем написать

Для малых значений z это выражение непригодно: при оно просто расходится и, следовательно, теряет физический смысл. Однако в дальнейшем мы будем пользоваться приведенным выражением во всей области изменения допускаемая при этом ошибка не скажется на наших результатах, так как плотность тока холодной эмиссии зависит исключительно от ширины и высоты потенциального барьера в той области значений энергии, где высота больше энергии электрона.

С учетом сказанного потенциальная энергия электрона, когда он находится вне металла, имеет вид

(Используются обозначения предыдущей задачи, см. также фиг. 68.)

Фиг. 68. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения.

Выражение (170.2) интересует нас лишь в области между где корни квадратного уравнения Мы, очевидно, имеем

Оба корня будут действительными, если

Заметим, что это условие выполняется даже для полей, напряженность которых имеет порядок 109 В/см. Для больших значений напряженности высота барьера будет ниже энергии Ферми электронного газа в металле. В экспериментах используются поля, напряженность которых не превосходит 107 В/см, поэтому можно считать, что

и вместо радикала (170.3) взять соответствующее разложение. Таким образом, имеем

где

причем Благодаря силам электростатического изображения вершина потенциального барьера, согласно формуле (170.2), сдвигается теперь из точки в точку а его

высота равна теперь не а

Согласно условию (170.4), это приводит не столько к понижению потенциального барьера, сколько делает его вершину более пологой, и мы можем ожидать, что при прочих равных условиях коэффициент прохождения будет иметь теперь значительно большую величину. Повторяя рассуждения предыдущей задачи, можно убедиться, что основной вклад в плотность тока холодной эмиссии будут давать те электроны, энергия которых близка к значению Для таких энергий величина во всяком случае не меньше постоянной кристаллической решетки, поэтому наличие расходимости при в потенциале сил электростатического изображения для дальнейшего не имеет никакого значения.

Снова используя приближение ВКБ, можно написать для коэффициента прохождения выражение вида

Учитывая далее, что

получаем

Этот интеграл относится к интегралам эллиптического типа, и его можно выразить через табличные интегралы. Введем вместо новую переменную в результате наш интеграл преобразуется к виду

где

Положим далее

и

тогда вместо интеграла, стоящего в правой части равенства (170.7), можно написать

В свою очередь этот последний интеграл можно представить в виде линейной комбинации двух полных эллиптических интегралов

В справедливости равенства. (170.10) можно убедиться следующим образом. Если ввести обозначение

то полные эллиптические интегралы запишутся в виде

Далее путем дифференцирования нетрудно проверить справедливость тождества

Если теперь проинтегрировать это тождество почленно по то в результате получим соотношение

из которого сразу следует равенство (170.10).

Суммируя наши результаты, можно записать формулы (170.7) и (170.10) в виде

Эта формула допускает дальнейшие упрощения. Действительно, следовательно, и параметр № можно заменить параметром

а затем разложить правую часть формулы (170.11) в быстро сходящийся ряд по степеням этого нового параметра. Мы имеем

причем выше Подставляя эти ряды в правую часть (170.11), находим

Если бы то у нас получилось бы для коэффициента прохождения прежнее значение (169.9), найденное без учета сил электростатического изображения. Обозначим это значение через тогда

где

Нам осталось, используя новое значение коэффициента прохождения оценить интеграл, фигурирующий в формуле для плотности тока (169.8). Как и в предыдущей задаче, основной вклад в плотность тока холодной эмиссии дают электроны, для которых значения лежат вблизи точки по этой причине мы можем разложить величину К в ряд в окрестности точки т. е. в окрестности точки и ограничиться в дальнейшем членом, линейно зависящим от Практически это означает, что мы полагаем

а интегрирование выполняем так же, как и в задаче 169.

В результате вместо выражения (169.11), которое мы обозначим через у нас получится выражение вида

где 1. При более точном расчете в формуле (170.16) появился бы дополнительный множитель

Разумеется, основную роль в формуле (170.16) играет экспонента.

Наш анализ закончим разбором числового примера. Если, как и в предыдущей задаче, напряженность поля измеряется в вольтах на сантиметр, а работа выхода в электрон-вольтах, то наряду с соотношениями (169.12) мы имеем теперь соотношение

Предположим, что работа выхода а напряженность поля В/см, тогда