относительно их аргументов
взятых в стандартном порядке
Если
четная перестановка, то соответствующее слагаемое в сумме берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
Внешние силы, описываемые оператором
, будут действовать на все частицы одинаковым образом. Это означает, что
и его среднее значение будет равно
Выделим из суммы (152.4) одно слагаемое, в котором оператор
действует только на функцию координат и спина
частицы, например, на функцию
Координаты и спин любой другой, скажем
частицы, фигурируют в этом слагаемом в качестве аргумента какой-нибудь другой функции и; в обеих перестановках
одновременно, так как в противном случае рассматриваемый член исчез бы в силу ортогональности одночастичных волновых функций:
Это означает, что перестановки
в отличных от нуля членах идентичны и, следовательно, знаковый множитель в (152.4) всегда равен
а вклад рассматриваемого слагаемого имеет вид одночастичного интеграла:
Для дальнейшего подсчета суммы (152.4) заметим, что в волновую функцию
множитель
фиксированы) входит в сочетании с определителем
порядка. За вычетом функции
и аргумента
у нас еще остается
функция и
аргумент, так что из всех
возможных перестановок в нашем распоряжении имеется
перестановок
функции относительно
аргумента. Таким образом, получаем
Этот результат, разумеется, остается в силе, какой бы оператор
из суммы (152.3) мы ни брали, поэтому среднее значение
будет содержать
одинаковых слагаемых (152.7).
Следовательно, мы имеем
Нам осталось найти нормировочную постоянную С из условия
означающего, что в пространстве достоверно имеется
частиц. Формально это можно сделать, положив в равенстве
Так как при этом
то равенство (152.8) с учетом условия нормировки одночастичных функций (152.5) дает
Отсюда с помощью равенства (152.9) получаем
Теперь правую часть равенства (152.8) мы можем окончательно записать в виде простой суммы средних значений по одночастичным состояниям:
Замечание. Пренебрегая симметризацией и заменив волновую функцию (152.1) простым произведением
мы получили бы
и
т.е. по существу те же самые результаты (152.11) и (152.9), которые были найдены с помощью антисимметризованной волновой функции. Ни для взаимодействия между частицами, которое не удовлетворяет равенству (152.3), ни для неортогональных одночастичных функций, для которых нарушается условие (152.5), такое совпадение результатов не имеет места.