Задача 152. Определитель Слэтера

Пусть волновая функция системы из одинаковых частиц представлена в виде произведения одночастичных волновых функций и антисимметризована в соответствии с принципом Паули. Выразить среднее значение оператора, описывающего действие внешних сил, через одночастичные интегралы.

Решение. Обозначим через одночастичную волновую функцию частицы в состоянии означает совокупность пространственных и спиновой координат рассматриваемой частицы). Тогда полностью антисимметричную волновую функцию системы из одинаковых частиц можно записать в виде определителя Слэтера:

раскрывая который, получаем

Здесь означает произвольную перестановку функций

относительно их аргументов взятых в стандартном порядке Если четная перестановка, то соответствующее слагаемое в сумме берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

Внешние силы, описываемые оператором , будут действовать на все частицы одинаковым образом. Это означает, что

и его среднее значение будет равно

Выделим из суммы (152.4) одно слагаемое, в котором оператор действует только на функцию координат и спина частицы, например, на функцию Координаты и спин любой другой, скажем частицы, фигурируют в этом слагаемом в качестве аргумента какой-нибудь другой функции и; в обеих перестановках одновременно, так как в противном случае рассматриваемый член исчез бы в силу ортогональности одночастичных волновых функций:

Это означает, что перестановки в отличных от нуля членах идентичны и, следовательно, знаковый множитель в (152.4) всегда равен а вклад рассматриваемого слагаемого имеет вид одночастичного интеграла:

Для дальнейшего подсчета суммы (152.4) заметим, что в волновую функцию множитель фиксированы) входит в сочетании с определителем порядка. За вычетом функции и аргумента у нас еще остается функция и аргумент, так что из всех возможных перестановок в нашем распоряжении имеется перестановок функции относительно аргумента. Таким образом, получаем

Этот результат, разумеется, остается в силе, какой бы оператор из суммы (152.3) мы ни брали, поэтому среднее значение будет содержать одинаковых слагаемых (152.7).

Следовательно, мы имеем

Нам осталось найти нормировочную постоянную С из условия

означающего, что в пространстве достоверно имеется частиц. Формально это можно сделать, положив в равенстве Так как при этом то равенство (152.8) с учетом условия нормировки одночастичных функций (152.5) дает

Отсюда с помощью равенства (152.9) получаем

Теперь правую часть равенства (152.8) мы можем окончательно записать в виде простой суммы средних значений по одночастичным состояниям:

Замечание. Пренебрегая симметризацией и заменив волновую функцию (152.1) простым произведением

мы получили бы

и

т.е. по существу те же самые результаты (152.11) и (152.9), которые были найдены с помощью антисимметризованной волновой функции. Ни для взаимодействия между частицами, которое не удовлетворяет равенству (152.3), ни для неортогональных одночастичных функций, для которых нарушается условие (152.5), такое совпадение результатов не имеет места.