Задача 135. Среднее значение магнитного момента
Для электрона со спином в центральном поле вычислить средние значения всех трех проекций векторов 
а также вектора магнитного момента.
Решение. Пусть
собственный спинор, тогда
Согласно результатам задачи 133 для собственных спиноров 
имеем
где
и
Таким образом, в выражениях (135.1), которые используются для вычисления средних значений 
отдельные члены будут содержать произведения различных сферических функций, поэтому
С другой стороны, для среднего значения 
и нормировочного интеграла мы соответственно имеем
и
Отсюда следует
В состояниях с 
имеем
если
Средние значения проекций орбитального момента можно получить аналогичным образом, рассматривая выражение
Так как операторы 
изменяют второй индекс сферической функции на ±1, то средние значения 
снова обращаются в нуль (см. задачу 58), а для среднего значения 
имеем
или
Если воспользоваться формулой (135.6), то последнему результату можно придать более простой вид:
Эту формулу мы могли бы получить сразу, если бы учли, что и есть собственный спинор оператора 
принадлежащий собственному значению 
Средние значения 
также равны нулю, поскольку равны нулю средние значения соответствующих проекций векторов 
Оператор магнитного момента имеет вид
где 
— электрический заряд электрона. Средние значения проекций магнитного момента на оси х и у обращаются в нуль, однако
что с учетом формулы (135.8) можно записать в виде
Отсюда, принимая во внимание соотношения (135.7а) и (135.76), находим, что в состояниях с 
а в состояниях с 
Замечание. Приведенные формулы показывают, что в замкнутой подоболочке 
результирующий магнитный момент равен нулю как в случае 
так и в случае 
Множитель, стоящий в формулах (135.11а) и (135.116) при величине 
называется g-фактором Ланде рассматриваемого состояния. Он позволяет записать величину 
в виде
Отсюда видно, что g-фактор Ланде описывает отклонение от классического соотношения Максвелла между магнитным и механическим моментами частицы, обусловленное наличием у частицы спина.
