Задача 172. Приближение Томаса — Ферми

Рассчитать плотность электронов в атоме (или положительном ионе). Чтобы получить приемлемое приближение, предположите, что во всякой области, где электростатический потенциал можно считать практически постоянным, имеется достаточно большое число электронов, так что их допустимо рассматривать статистически.

Решение. В основу этой модели атома положено две идеи: одна заимствована из электростатики, другая — из квантовой статистики. Мы начнем с электростатической части нашей задачи. Если на расстоянии от атомного ядра в единице объема содержится электронов, то электростатический потенциал, создаваемый в пространстве совместным действием электронов и атомного ядра, удовлетворяет уравнению Пуассона. Таким образом, первое основное уравнение нашей задачи гласит:

где - плотность заряда электронного облака. На решение этого уравнения необходимо наложить два граничных условия: в непосредственной близости от ядра с зарядом

и, кроме того, если радиус положительного иона с зарядом то

Фактическое значение радиуса положительного иона нам предстоит определить в дальнейшем.

На границе иона, т. е. в точках не должно быть никаких сингулярностей, поэтому здесь непрерывен не только потенциал, но и напряженность поля. В связи с этим граничное условие (172.3) можно переписать по-иному:

Перейдем теперь к квантовостатистической части нашей задачи. Рассматривая любой элементарный объем внутри атома (или иона), мы видим, что импульс всякого находящегося в нем электрона связан с его энергией соотношением

Чтобы электрон был в связанном состоянии, эта энергия во внутренних областях атома, очевидно, не должна превышать потенциальную энергию на его границе. Отсюда следует, что импульс электрона, находящегося на расстоянии от ядра, не может быть больше рмакс, где

Согласно же квантовой статистике, величина рмакс связана с плотностью электронов (см. задачу 167) соотношением

Сравнение соотношений (172.5) и (172.6) приводит к другому основному уравнению нашей задачи:

Уравнения (172.1) и (172.7) в принципе позволяют определить обе неизвестные функции и Исключая функцию и пользуясь сферической симметрией задачи, получаем

Вводя вместо безразмерную функцию

а вместо независимой переменной безразмерную переменную

где

приходим к универсальному дифференциальному уравнению

Граничные условия (172.2) и (172.4) теперь принимают вид

и

причем выше мы положили

Необходимо подчеркнуть, что при таких граничных условиях все электронов действительно заключены внутри сферы радиуса . В этом можно убедиться следующим образом. Из уравнения (172.7) и соотношения (172.9) следует

С помощью уравнения (172.10) функцию фигурирующую в последнем интеграле, можно выразить через производную так что этот интеграл будет равен

С учетом же граничных условий (172.11) и (172.12) последнее выражение попросту равно

Таким образом, число электронов, заключенных внутри сферы радиуса действительно равно

Мы свели нашу задачу к интегрированию универсального уравнения (172.10) при граничных условиях (172.11) и (172.12). Чтобы получить общее представление о разнообразии решений этого дифференциального уравнения, целесообразно проинтегрировать его при одном и том же начальном условии и различном наклоне касательных в начальной точке . Четыре таких решения показаны на фиг. 69. Кривым и 2 соответствуют конечные радиусы X, и так как в обоих случаях Оба указанных решения, согласно условию (172.12), описывают положительные ионы. Для нейтрального атома из (172.12) следует, что Это условие не удовлетворяется ни при каком конечном значении На фиг. 69 такому случаю соответствует кривая 3 (радиус атома бесконечен). Что касается кривой 4, то для свободных атомов или ионов она не имеет непосредственного физического смысла, однако с ее помощью можно

Фиг. 69. Решения уравнения Томаса — Ферми (172.10), отличающиеся наклоном касательной в начальной точке.

описывать атомы, связанные внутри кристаллической решетки (разумеется, граничные условия в этом случае будут совсем иными).

Ниже нас главным образом будет интересовать кривая 3, соответствующая нейтральному атому. Мы назовем полученное решение стандартным и будем обозначать его через Числовые значения функции приведены в нижеследующей таблице. Наклон касательной в начальной точке в рассматриваемом случае характеризуется значением , а асимптотическое поведение имеет вид [заметим, кстати, что указанная асимптотика является точным решением дифференциального уравнения (172.10), однако при это решение имеет сингулярность]. Для практических целей приведенное асимптотическое выражение малопригодно, так как даже при оно отличается от точного решения примерно на 40%. Надо, однако, иметь в виду, что истинный потенциал нейтрального атома должен убывать по мере роста х значительно быстрее, во всяком случае убывание должно быть экспоненциальным. Ошибка, свойственная модели Томаса — Ферми, как и любой другой статистической модели, быстро возрастаете уменьшением числа частиц. На больших расстояниях число частиц становится сколь угодно малым, поэтому нельзя ожидать, что там наше приближение, каким бы хорошим оно ни было во внутренних областях атома, будет оставаться пригодным.

Чтобы получить решения, близкие к стандартному, можно положить

так что для малых отклонений из (172.10) получается линеаризованное уравнение

Кроме того, чтобы удовлетворить граничному условию (172.11), необходимо положить В целях стандартизации можно также потребовать, чтобы выполнялось равенство а граничному условию (172.12) удовлетворить путем подходящего выбора параметра Таким образом, имеем

Соотношение (172.15а) устанавливает простую связь между параметром и радиусом положительного иона Значения функции и ее производной приведены в таблице.

(см. скан)