Задача 181. Теория возмущений Дирака

Пусть у атомной системы имеются невырожденные стационарные состояния В момент времени система находится в основном состоянии с этого момента на нее начинает действовать возмущение (зависящее или не зависящее от времени), которое вызывает переходы в другие состояния В момент времени возмущение выключается. Считая возмущение малым, найти вероятность обнаружения системы в состоянии

Решение. Пусть состояния невозмущенной системы удовлетворяют уравнению Шредингера

где

и пусть, кроме того,

После включения возмущения состояние системы будет описываться уравнением

Состояние можно разложить в ряд

В силу соотношений (181.2) из формулы (181.4) следует

Величина представляет собой вероятность обнаружить систему в состоянии в момент времени

Подставляя сумму (181.4) в дифференциальное уравнение (181.3), получаем

Умножая последнее равенство почленно на и учитывая затем

соотношения (181.2), находим

До сих пор мы не прибегали ни к каким приближениям, и последнее уравнение является точным. Оно отражает тот факт, что скорость перехода в состояние зависит от всех состояний системы, которые при действии данного возмущения комбинируют с состоянием Разумеется, этот же вывод следует и из соотношения (181.5). Действительно, если один из коэффициентов, скажем изменился, то должны измениться и другие коэффициенты, так чтобы сумма (181.5) оставалась постоянной. (См. также задачу 179, где рассмотрен случай системы с двумя возможными состояниями.)

Если возмущение мало, то для получения первого приближения мы можем подставить в правую часть уравнения (181.6) начальные значения

В случае вместо (181.6) получаем

Заметим, что по сравнению с задачей 179 наше рассмотрение имеет теперь значительно менее общий характер, так как мы пренебрегаем обратными переходами из состояния в состояние Интегрирование уравнения (181.8) дает

Величина этого интеграла в значительной мере определяется тем, как именно возмущение а следовательно, и его матричные элементы зависят от времени.

Наше приближение правомерно лишь до тех пор, пока

так что все коэффициенты все время остаются малыми. Надо заметить, что в силу неравенства (181.10)

Так как стоящая в числителе энергия возбуждения обычно значительно больше матричного элемента, стоящего в знаменателе,

то показатель экспоненциальной функции, фигурирующей в формулах (181.8) или (181.9), может оказаться довольно большой величиной, поэтому коэффициент будет в этом случае осциллирующей функцией времени, что не вполне согласуется с основной идеей, лежащей в основе используемой нами теории возмущений. В нижеследующей задаче показано, каким образом можно избавиться от этой трудности.