VI. Релятивистское уравнение Дирака

Замечание. В этой главе мы используем четвертую координату и евклидову метрику. Греческие индексы (например, принимают значения 1, 2,3,4, а латинские индексы (например, k) — только значения 1, 2,3.

Задача 189. Квадрирование уравнения Дирака

С помощью релятивистского закона дисперсии для дираковских плоских волн вывести перестановочные соотношения, которым удовлетворяют операторы у, а также получить неприводимое матричное представление этих операторов, где матрица диагональна.

Решение. Если решением уравнения Дирака для свободной частицы

является плоская волна

то величины у должны удовлетворять алгебраическому соотношению

Кроме того, они не должны зависеть от конкретного выбора величин Последние можно исключить из соотношения (189.3) лишь с помощью релятивистского закона дисперсии:

его можно получить, квадрируя соотношение (189.3). Мы имеем

Последнее соотношение будет идентично соотношению (189.4) в том и только в том случае, если в двойной сумме отличны от нуля лишь одни должным образом нормированные диагональные члены, а именно если

Применяя аналогичную процедуру непосредственно к уравнению Дирака (189.1) и не используя плоских волн, получаем соотношение вида

последнее с учетом значений антикоммутаторов (189.6) переходит в уравнение Клейна-Фока:

Для величин можно построить неприводимые представления в виде четырехрядных матриц. Если — одно из таких представлений, то всякое унитарное преобразование порождает некоторое другое неприводимое представление. По этой причине одну из матриц, скажем всегда можно предполагать диагональной. Так как то собственные значения этой матрицы должны быть равны +1 и —1. Таким образом, конструируя набор матриц можно написать

где все полужирные буквы означают двухрядные матрицы. Далее с помощью соотношений (189.6) находим

Для первых трех матриц из соотношения (189.96) получаем

а из соотношения (189.9а) следует

Перестановочные соотношения, полученные для рассматриваемых двухрядных матриц, позволяют выразить их через матрицы Паули (см. задачу 129). Если - обычные числа, то

соотношениям (189.10) будут удовлетворять матрицы вида

Таким образом, всякое представление типа

обязано удовлетворять перестановочным соотношениям (189.6). Стандартное представление, часто используемое в дальнейших задачах, получается отсюда при и имеет вид

Замечание. Если положить то вместо трех матриц мы получим матрицы

они вместе с матрицей удовлетворяют тем же самым перестановочным соотношениям. Два указанных набора матриц связаны между собой соотношениями

Матрицы а используются в дираковском гамильтониане (см. задачу 200).