Задача 205. Разложение дираковской плоской волны по состояниям с определенным моментом
Полученные в задаче 201 общие собственные спиноры операторов 
использовать для разложения плоской дираковской волны
которая обладает положительной спиральностью 
и распространяется в направлении оси z.
Решение. Прежде всего решим системы уравнений (201.9а) и (201.96) в случае свободного движения. Согласно задаче 190, где рассматривались плоские волны, параметр 
связан с энергией и импульсом соотношениями
С учетом этих соотношений система дифференциальных уравнений (201.9а) записывается в виде
Из уравнения (205.36) получаем соотношение
дифференцируя которое, находим
Подставляя последнее выражение в (205.3а), получаем для определения функции 
обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
Регулярное в нуле решение этого уравнения (нормировка произвольная) имеет вид
Подставляя теперь выражение (205.6) в соотношение (205.4), находим
причем штрих означает дифференцирование по переменной 
С помощью известной формулы
окончательно получаем
Таким образом, нормировка функции 
фиксирована относительно нормировки функции 
Если квантовое число 
задано и 
то формулы (205.6) и (205.7) позволяют записать 4-спинор (201.4а) в явном виде:
Рассмотренные в задаче 201 решения второго типа находятся из уравнений (205.3а) и (205.36), если в них произвести замену 
При этом функция 
по-прежнему будет определяться выражением (205.6). Что же касается функции 
то выражение для нее получается из (205.7), если там множитель 
перевести из числителя в знаменатель. С учетом этих замечаний 4-спинор
(201.46) запишется теперь в виде
Из полученных выше 4-спиноров можно построить волновую функцию, подобную функции (205.1), если положить
В этом разложении мы можем, разумеется, распорядиться немым индексом 
по своему усмотрению. Для дальнейшего удобно ввести орбитальное квантовое число I и во всех суммах, содержащих функции
(m = 0 или 1), положить 
В суммах же, содержащих функции
положить 
Учитывая далее соотношения (205.8) и (205.9), находим
Нетрудно проверить, что сумма (205.11) сводится к выражению (205.1), если
