Задача 180. Действие периодического возмущения на двухуровневую систему

Имеется та же самая двухуровневая система, что и в предыдущей задаче. В момент времени включается периодическое возмущение (например, световая волна), частота которого почти совпадает с частотой соответствующей разности энергий двух рассматриваемых уровней. Определить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени после включения периодического возмущения.

Решение. Решение уравнения Шредингера

ищем в виде

где коэффициенты разложения должны определяться из начального условия

Выше решения уравнения Шредингера для стационарных состояний:

причем указанные стационарные решения можно считать ортонормированными. Подставляя выражение (180.2) в уравнение (180.1) и умножая затем это уравнение на или получаем два дифференциальных уравнения для определения величин

Введем обозначение

и, кроме того, положим

Ниже будем считать, что

Система уравнений (180.5) теперь принимает вид

При такой записи отчетливо выявляется наличие членов двух типов: высокочастотных — с частотами порядка и и низкочастотных — с частотой Усреднение по временному интервалу позволяет избавиться от высокочастотных членов,

поэтому, заменив коэффициенты усредненными величинами

где

получим для этих усредненных величин значительно более простую систему уравнений, если при усреднении будем считать медленно меняющиеся множители постоянными:

Система дифференциальных уравнений (180.8) Допускает точное решение. Действительно, дифференцируя почленно одно из них и исключая с помощью другого уравнения одну из искомых функций, получаем

где

Если теперь ввести обозначение

то решение последней системы, удовлетворяющее начальным условиям (180.3), можно записать в виде

Фигурирующие здесь постоянные интегрирования можно вычислить, подставив выражения (180.12) в систему уравнений первого порядка (180.8). Указанная подстановка дает

Для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоянии в момент времени получаем

Вероятность же обнаружить систему по-прежнему в основном состоянии имеет вид

Согласно формуле (180.14), переход системы в возбужденное состояние представляет собой типичный резонансный процесс: вероятность возбуждения быстро падает по мере роста величины Необходимо подчеркнуть, что наше рассмотрение правомерно лишь до тех пор, пока выполняется условие (180.7). Процесс возбуждения системы периодически повторяется с частотой определяемой выражением (180.11), которое в основном зависит от величины матричного элемента. Спустя время

система вновь будет обнаружена в основном состоянии. Таким образом, если периодическое возмущение, например световая волна, включается в момент времени а затем выключается в момент времени то в результате мы не обнаружим никаких изменений в состоянии системы.

Приложение. Пусть гамильтониан описывает взаимодействие -электрона с магнитным полем направленным вдоль оси В этом случае величина равна расстоянию между уровнями, отвечающими противоположным ориентациям спина. Если состояние соответствует верхнему уровню, а состояние — нижнему, то Пусть теперь возмущением служит переменное магнитное поле, так что

Если поле параллельно полю то матричный элемент обращается в нуль. В этом случае каждое из состояний независимо подвергается действию возмущения, но переходы между ними отсутствуют. Если же поле перпендикулярно полю (можно, например, считать, что оно направлено вдоль оси то диагональные матричные элементы оператора обращаются в нуль и мы приходим в точности к той самой задаче, которая была разобрана нами выше, причем в данном случае

Согласно полученным ранее результатам, еслн и такая система будет вести себя резонансным образом, попеременно переходя из одного магнитного состояния в другое. Рассмотренный пример представляет собой простейший случай парамагнитного резонанса.