Вырожденная гипергеометрическая функция

Если в гипергеометрическом дифференциальном уравнении Гаусса сделать предельный переход то в результате получится дифференциальное уравнение Куммера:

При этом особая точка имевшаяся в исходном уравнении, сместится теперь в точку Таким образом, на комплексной плоскости х рассматриваемое уравнение имеет правильную особую точку и существенно особую точку появившуюся в результате слияния особых точек Общее решение уравнения (1) можно записать в виде

где так называемый вырожденный гипергеометрический ряд по определению равен

или

Этот ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости Определяемую вырожденным гипергеометрическим рядом функцию можно сделать однозначной, проведя разрез между точками . В нашей книге в качестве линии разреза выбрана мнимая положительная полуось.

Если где ряд (36) не существует.

В этом случае решение уравнения (1) можно получить с помощью предельного перехода

(Выше переменная х обозначена через

Асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической функции при описывается формулой

Эта формула не относится к случаю где так как, согласно (3), вырожденный гипергеометрический ряд в указанном случае превращается в полином степени Среди таких полиномов наибольший интерес представляют полиномы Лягерра

и полиномы Эрмита (см. задачу 30)

В заключение приведем сводку наиболее важных в практическом отношении формул для вырожденной гипергеометрической функции и ее производной: