Задача 191. Трансформационные свойства дираковских спиноров

Выяснить, как преобразуется спинор при бесконечно малых преобразованиях Лоренца.

Решение. Бесконечно малое преобразование Лоренца записывается в виде

причем компоненты - действительные величины, а компоненты — чисто мнимые. Уравнение Дирака

в результате этого преобразования принимает вид

причем коэффициенты и к остаются неизменными. Операторы являются компонентами 4-вектора и преобразуются по тому же самому закону (191.1), что и координаты:

Закон преобразования волновой функции можно записать в виде

где бесконечно малая величина линеина по и представляет собой некоторое клиффордово число.

Рассмотрим уравнение (191.2а) и подставим туда вместо и соответственно выражения (191.3) и (191.4):

Если умножить полученное уравнение почленно слева на величину то последнее слагаемое станет равным т. е. перейдет в последнее слагаемое уравнения (191.2). Следовательно, оператор мы должны выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство

Пренебрегая всеми величинами второго порядка малости, находим

Меняя далее в двойной сумме немые индексы и друг на друга и обозначая затем индекс через получаем

Так как предполагается, что это соотношение должно иметь место при произвольном то в нуль должен обращаться каждый член суммы по в отдельности:

Единственное клиффордово число, линейное относительно величин и удовлетворяющее всем этим четырем соотношениям, имеет вид

В этом нетрудно убедиться путем непосредственного вычисления перестановочных соотношений (191.6). Мы имеем

Учитывая далее, что

и что, следовательно,

получаем

т. е. справедливость формулы (191.7) доказана.

Таким образом, дираковский спинор преобразуется по закону