Главная > Задачи по квантовой механике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи

Записать уравнение Дирака в гамильтоновои форме и, пользуясь стандартным представлением, расщепить четырехкомпонентное уравнение на пару двухкомпонентных уравнений, содержащих матрицы Паули. Показать, что частица с "равной нулю массой покоя (например, нейтрино) допускает описание в рамках двухкомпонентной теории.

Решение. Если в уравнении Дирака

явным образом выделить производную по времени, то его можно записать в виде

Умножая это уравнение слева на получаем

или

где оператор

можно рассматривать в качестве гамильтониана.

В стандартном представлении

Здесь матрицы Паули, а - единичная и нулевая двухрядные матрицы соответственно. Далее имеем

поэтому гамильтониан (200.2) можно записать в расщепленной форме

Если ввести двухкомпонентные функции и связанные с четырехкомпонентным дираковским спинором соотношением

то уравнение Дирака расщепится на пару двухкомпонентных уравнений:

В частности, в случае стационарных состояний с положительной энергией получаем

Теория нейтрино. Если то вышеприведенные уравнения совпадают между собой, поэтому

а два линейно независимых решения должны определяться из уравнения

Так как эти две системы никак не связаны, то в случае частиц с равной нулю массой покоя имеются две независимые двух-компонентные теории. Нетрудно показать, что в отсутствие внешних сил параметр X совпадает с квантовым числом, используемым для характеристики спиральности. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси

где С — постоянный двухкомпонентный спинор. В этом случае первый член в левой части уравнения (200.9) приобретает вид

в то время как второй член будет равен

и, следовательно,

Таким образом, X есть собственное значение компоненты оператора спина (в единицах в направлении распространения волны ("спиральность"). Так как матрица Паули диагональна,

то при решением уравнения (200.10) является спинор

поэтому

В случае же отрицательной спиральности решением упомянутого уравнения является спинор

и поэтому

Замечание. Как показали эксперименты, спиральность нейтрино всегда отрицательна, т. е. поэтому только второй вариант развитой выше теории правильно описывает фактически происходящие явления природы. Рассмотрим в этой связи оператор

который в стандартном представлении имеет вид

Далее имеем

Если подействовать этими операторами на любое решение уравнения (200.9) с т. е. на решение вида

то получим

Действие же этих операторов на решения уравнения (200.9) с к т. е.. на решения вида

дает

В силу полученных результатов мы не можем решить, реализуются ли в природе по каким-то неизвестным причинам только одни состояния или же оператор взаимодействия, ответственный за рождение нейтрино, содержит множитель так что рождение нейтрино с становится невозможным. В заключение надо отметить, что оператор не коммутирует с оператором пространственной инверсии, и в таких взаимодействиях пространственная четность не сохраняется.

1
Оглавление
email@scask.ru