Задача 200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи
Записать уравнение Дирака в гамильтоновои форме и, пользуясь стандартным представлением, расщепить четырехкомпонентное уравнение на пару двухкомпонентных уравнений, содержащих матрицы Паули. Показать, что частица с "равной нулю массой покоя (например, нейтрино) допускает описание в рамках двухкомпонентной теории.
Решение. Если в уравнении Дирака
явным образом выделить производную по времени, то его можно записать в виде
Умножая это уравнение слева на 
получаем 
или
где оператор
можно рассматривать в качестве гамильтониана.
В стандартном представлении
Здесь 
матрицы Паули, а 
- единичная и нулевая двухрядные матрицы соответственно. Далее имеем
поэтому гамильтониан (200.2) можно записать в расщепленной форме
Если ввести двухкомпонентные функции 
и связанные с четырехкомпонентным дираковским спинором соотношением
то уравнение Дирака расщепится на пару двухкомпонентных уравнений:
В частности, в случае стационарных состояний с положительной энергией 
получаем
Теория нейтрино. Если 
то вышеприведенные уравнения совпадают между собой, поэтому
а два линейно независимых решения 
должны определяться из уравнения
Так как эти две системы никак не связаны, то в случае частиц с равной нулю массой покоя имеются две независимые двух-компонентные теории. Нетрудно показать, что в отсутствие внешних сил параметр X совпадает с квантовым числом, используемым для характеристики спиральности. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси 
где С — постоянный двухкомпонентный спинор. В этом случае первый член в левой части уравнения (200.9) приобретает вид
в то время как второй член будет равен
и, следовательно,
Таким образом, X есть собственное значение компоненты оператора спина (в единицах 
в направлении распространения волны ("спиральность"). Так как матрица Паули 
диагональна,
то при 
решением уравнения (200.10) является спинор
поэтому
В случае же отрицательной спиральности 
решением упомянутого уравнения является спинор
и поэтому
Замечание. Как показали эксперименты, спиральность нейтрино всегда отрицательна, т. е. 
поэтому только второй вариант развитой выше теории правильно описывает фактически происходящие явления природы. Рассмотрим в этой связи оператор
который в стандартном представлении имеет вид
Далее имеем
Если подействовать этими операторами на любое решение уравнения (200.9) с 
т. е. на решение вида
то получим
Действие же этих операторов на решения уравнения (200.9) с к 
т. е.. на решения вида
дает
В силу полученных результатов мы не можем решить, реализуются ли в природе по каким-то неизвестным причинам только одни состояния или же оператор взаимодействия, ответственный за рождение нейтрино, содержит множитель 
так что рождение нейтрино с 
становится невозможным. В заключение надо отметить, что оператор 
не коммутирует с оператором пространственной инверсии, и в таких взаимодействиях пространственная четность не сохраняется.
