Задача 211. Рассеяние в борновском приближении
Примените развитую выше теорию квантования шредингеровского волнового поля к задаче об упругом рассеянии частиц на сферически симметричном потенциале 
Решение. Пусть квантованное свободное поле, рассмотренное в предыдущей задаче, возмущается потенциалом 
Это значит, что к гамильтониану поля 
мы должны добавить оператор энергии возмущения
Если ограничиться первым приближением, то вместо 
мы можем подставить в оператор 
суперпозицию плоских волн (210.5). Таким образом имеем
Интеграл (211.2) хорошо нам знаком по борновской теории рассеяния (см. задачу 105). Вводя здесь, как обычно, переданный импульс
получаем
(заметьте, что это выражение имеет размерность 
) и, следовательно,
Перейдем теперь к описанию процесса рассеяния. Начальное состояние квантованного поля характеризуется тем, что имеется лишь одна частица в состоянии 
а все другие одночастичные состояния не заняты. Такое состояние поля описывается гильбертовым вектором
Конечное состояние поля характеризуется тем, что имеется одна единственная частица в состоянии 
поэтому
Чтобы найти вероятность перехода между этими двумя состояниями, мы должны вычислить матричный элемент
Пользуясь соотношениями
получаем
Таким образом, когда оператор 
определенный соотношением (211.5), действует на гильбертов вектор от суммы по к остается единственный член с 
при этом оператор 
уничтожает начальную частицу и превращает исходное состояние поля 
в вакуумное состояние 
Что же касается оставшейся суммы по 
то в нее дают вклад все члены, и с учетом соотношения
ее можно записать в виде
В силу условий ортонормированности
в матричный элемент (211.7) дает вклад также только один член этой последней суммы, и мы получаем
Зная матричный элемент, можно с помощью "золотого правила" вычислить дифференциальное сечение рассеяния:
где
причем в последнем выражении все величины относятся к конечному состоянию. Если теперь подставить выражение (211.10) в (211.9) и воспользоваться для матричного элемента формулой (211.8), то объем куба периодичности сократится и мы получим
Этот результат с учетом выражения (211.4) полностью согласуется с формулой первого борцовского приближения (см. задачи 105 и 184).
