Задача 201. Центральные силы в теории Дирака

Дираковская частица помещена в сферически симметричное поле Воспользовавшись тем, что в стандартном представлении уравнение Дирака расщепляется на пару двухкомпонентных уравнений (задача 200), найти собственные спиноры дираковского гамильтониана, которые одновременно являются общими собственными спинорами операторов При расчетах можно ограничиться случаем

Решение. Согласно (200.7), уравнение Дирака, записанное в расщепленной форме, имеет вид

где - матрицы Паули, а двухкомпонентные спиноры связаны с дираковским спинором соотношением

В стандартном представлении операторы компонент полного момента, определенного соотношением

действуя на дираковский спинор, не смешивают две его первые компоненты с двумя другими его компонентами Это связано с тем, что в стандартном представлении спиновые четырехрядные матрицы, записанные через матрицы Наули, имеют диагональную форму

Таким образом, если двухкомпонентные спиноры являются собственными спинорами операторов то этим же свойством будет обладать и 4-спинор определенный соотношением (201.2).

Ранее, в задаче 133, нами были найдены двухкомпонентные собственные спиноры и операторов принадлежащие собственным значениям

и

Попытаемся найти решение нашей задачи, комбинируя спиноры двух указанных типов:

и

Вопрос о нормировке радиальных функций которая может быть различной для решений (201.4а) и (201.46), пока оставим открытым.

Чтобы выполнить намеченную программу, необходимо, согласно (202.1), рассмотреть выражение

Пользуясь известными формулами

и

после несколько утомительных, но вполне элементарных преобразований выражений

и

в случае получаем

Если же то результат имеет вид

Попытаемся сначала удовлетворить системе уравнений (201.1), подставляя туда выражение (201.4а):

Взяв далее для выражения (201.3а) и (201.36), а для выражения (201.7а) и (201.76) и подставив в левые части уравнений (201.8), получаем (для простоты опускаем индексы у радиальных функций

и

Оба выражения обращаются в нуль, если радиальные функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Для решений второго типа (201.46) аналогичным путем получаются уравнения, которые совпадают по форме с уравнениями (201.8), однако в них на месте спинора стоит спинор и наоборот, а также в каждом изменен знак перед членом на обратный. Таким образом, с помощью тех же выкладок, что и раньше, вместо системы дифференциальных уравнений (201.9а)

получаем систему

Решая по отдельности системы уравнений (201.9а) и (201.96), мы для любого заданного потенциала находим полное решение сформулированной выше задачи. Так как функции определенным образом связаны между собой, то, следовательно, связаны между собой и их относительные нормировки.

Необходимо подчеркнуть, что в отличие от нерелятивистской теории спина компоненты дираковского 4-спинора характеризуются различными значениями поэтому в релятивистской теории квантовое число больше не является хорошим квантовым числом, хотя квантовые числа и и теперь, разумеется, хорошие квантовые числа.