Задача 171. Белый карлик

Предположим, что температура белого карлика достаточно высока и поэтому все атомы практически полностью ионизованы. Кроме того, будем считать, что эта температура все еще настолько мала, что можно пренебречь давлением газа и давлением излучения по сравнению с давлением вырожденного электронного газа при абсолютном нуле температур (это второе предположение не является вполне удовлетворительным). Считая, что давление, соответствующее абсолютному нулю температур, уравновешивается силами гравитационного притяжения, найти распределение плотности вещества по объему звезды. Масса звезды предполагается заданной.

Решение. В сферически симметричной массе газа градиент давления в направлении радиуса должен равняться плотности гравитационных сил (барометрическая формула):

Здесь - гравитационная постоянная, — масса вещества, заключенная внутри сферы радиуса

и, наконец, плотность вещества, т. е. масса всех ионов и всех свободных электронов, находящихся в звездного вещества. При полной ионизации в наряду с электронами содержится ионов (ядер), поэтому

где масса нейтрального атома. Если вещество звезды содержит различные элементы, то фигурирующие здесь надо понимать как некие средние значения. В этой связи необходимо отметить, что отношение

почти не зависит от химического состава: величина а меняется от 1,0 до 1,3 при переходе от легких элементов к тяжелым, и лишь водород, для которого представляете этом отношении исключение. Таким образом, плотность вещества

практически зависит лишь от плотности электронов.

Согласно результатам задачи 167, давление электронного газа при абсолютном нуле определяется формулой

Что касается давления газа ионов, то при абсолютном нуле оно (будучи пропорциональным значительно меньше давления

Даже в случае водорода мы имеем ; для других элементов отношение еще меньше. По этой причине мы пренебрежем величиной и отождествим давление электронного газа фигурирующее в формуле (171.5) с полным давлением

Обойтись без рассмотрения температурных эффектов далеко не так просто. Газ можно считать сильно вырожденным только в том случае, когда

При этом условии давление газа практически не отличается от давления при абсолютном нуле. Для электронов энергия Ферми определяется формулой

Вычисленные с помощью этой формулы значения надо сравнить со значениями тепловой энергии. При температуре мы имеем и даже для плотности обе величины оказываются одного порядка. При этом газ ионов вообще будет невырожденным, а его вклад в полное давление будет сравним с вкладом электронного газа. Что же касается радиационного давления, то для него справедлива формула

С другой стороны, согласно (171.6) и (171.4), имеем

При радиационное давление по порядку величины равно , и для плотностей вещества, с которыми мы сталкиваемся в белых карликах, его действительно можно не учитывать.

Комбинируя формулы (171.5) и (171.4), получаем уравнение состояния

где

Когда функциональная связь между давлением и плотностью имеет вид

то говорят, что мы имеем политропу с показателем Таким образом, можно сказать, что состояние вещества в белом карлике описывается политропой с показателем

Подставляя выражение (171.6) в условие равновесия (171.1), получаем

Отсюда путем дифференцирования находим

Вместо плотности удобно ввести безразмерную функцию

где - некоторая постоянная, а вместо радиуса -безразмерную переменную

где величина используется в качестве единицы длины и определяется соотношением

В результате этих преобразований уравнение (171.7) приводится к виду, не зависящему ни от каких физических постоянных:

Если мы отождествим постоянную с плотностью вещества в центре звезды, то к уравнению (171.11) надо присоединить начальные условия

Единственное решение нелинейного дифференциального уравнения (171.11), удовлетворяющее начальным условиям (171.12), находится путем численного интегрирования. Это решение монотонно убывает и в точке

обращается в нуль В этой же точке

Согласно соотношению (171.8), нуль функции определяет радиус звезды Зная радиус звезды, можно записать ее полную массу:

Последний интеграл можно вычислить, не зная всех числовых значений функции Действительно, в силу уравнения (171.11) имеем

поэтому

Когда масса звезды известна из опыта, между величинами в силу (171.10) и (171.14) имеется два соотношения:

где

и

где

Отсюда

так что радиус звезды можно записать теперь в виде

Для средней плотности звездного вещества имеем

следовательно, она составляет примерно плотности вещества в центре звезды.

Числовой пример. Наблюдения за движением Сириуса показывают, что Сириус В, входящий в состав этой двойной звезды, имеет массу, примерно равную массе Солнца, а именно Таким образом, в данном случае

Известно также, что радиус Сириуса В составляет примерно радиуса Солнца см); этому в нашей Модели соответствует значение Найденное значение довольно близко к значению для водородной звезды, хотя и располагается с неправильной стороны. Надо, однако, иметь в виду, что в нашей модели для радиуса звезды получается заниженное значение, так как при вычислениях мы не учитывали температурные эффекты и, следовательно, отбросили существенную часть давления. Фактически звезда должна раздуться до заметно больших размеров.