Задача 142. Собственные функции оператора полного момента двух частиц, обладающих спином

Найти собственные функции операторов описывающие триплетные состояния системы двух частиц, обладающих спином Используйте как единицу момента количества движения.

Решение. Любую функцию триплетного состояния, разумеется, можно записать в виде

В этом выражении каждая из трех возможных спиновых функций умножается на функцию пространственных координат, формально записанную в виде разложения по сферическим гармоникам. Вторые индексы сферических гармоник выбраны таким образом, чтобы имело место равенство

т. е. чтобы функция была собственной функцией оператора Рассмотрим теперь действие оператора

на функцию (142.1). С этой целью удобно ввести операторы

аналогичные (см. задачу 56) операторам

Тогда оператор можно записать в виде

где

Действие этих операторов на триплетные спиновые функции дает

Теперь, непосредственно вычисляя, получаем

Используя эти формулы, а также хорошо известные соотношения (см. задачу 56)

нетрудно показать, что

Чтобы функция была собственной функцией оператора последнее выражение должно равняться Отсюда для функций получается три независимых линейных уравнения. Это говорит о том, что три радиальные функции должны иметь одинаковый вид и различаться лишь амплитудами:

Постоянные амплитуды можно найти из следующей системы линейных уравнений:

Определитель этой системы должен обращаться в нуль. Отсюда после элементарных преобразований получается уравнение для определения не содержащее квантового числа

Оно имеет три (положительных) корня:

для каждого из этих корней амплитуды теперь находятся с точностью до общего постоянного множителя из уравнений (142.11). Ниже в таблице приводятся окончательные результаты, полученные при произвольном предположении, что условие нормировки имеет вид

(см. скан)