Задача 187. Дисперсия света. Силы осцилляторов

Световая волна, рассмотренная в предыдущей задаче, но с взаимодействует с атомом. Считая, что во взаимодействии участвует только один электрон, найти индуцированную поляризацию и получить из нее выражение для сил осцилляторов.

Пренебрегая запаздыванием, выразить все встречающиеся в задаче матричные элементы через матричные элементы электрического дипольного момента.

Решение. В обозначениях задачи 181 состояние атома, находящегося под действием световой волны, записывается в виде

где -состояние невозмущенного атома. Используя выражение (182.2) для коэффициентов и опуская в нем члены, связанные с процедурой включения световой волны, получаем

Выше означает основное состояние атома, а любое его возбужденное состояние, так что и только член, стоящий в сумме первым, имеет резонансный характер. Пренебрегая нерезонансным членом, можно записать состояние атома в виде

Мы знаем, что оптические свойства определяются в основном индуцированным дипольным моментом ряпд, который определяется соотношением

Подставляя сюда выражение (187.1) и пренебрегая поправками второго порядка, получаем

Это выражение можно значительно упростить, заменив матричные элементы энергии взаимодействия

матричными элементами электрического дипольного момента атома в направлении электрического поля световой волны:

Такую замену можно сделать, воспользовавшись соотношением

оно справедливо для любой пары состояний

Соотношение (187.6) можно вывести, например, следующим образом. Из уравнений Шредингера

после почленного умножения на соответственно и последующего вычитания одного уравнения из другого получаем

Так как

то выражение, стоящее в фигурных скобках в (187.6а), можно записать в виде

Подставляя это выражение в формулу (187.6а), легко получаем соотношение (187.6).

С помощью соотношения (187.6) выражение для индуцированного дипольного момента (187.3) преобразуется к виду

Если атомы статистически независимы, то их дипольные моменты с равной вероятностью могут иметь любое направление, поэтому при усреднении у-компоиента и z-компонента вектора Рта обратятся в нуль и останется лишь компонента индуцированного дипольного момента в направлении оси х, т. е. в направлении приложенного к атому электрического поля. Для дальнейшего заметим, что в силу эрмитовости оператора

тогда

причем в правой части последнего соотношения нет необходимости в усреднении, так как там стоит выражение, не зависящее от ориентации атома. Таким образом, получаем

Поскольку выражение

представляет собой мгновенное значение напряженности электрического поля, можно определить поляризуемость атома а, полагая, как обычно,

Отсюда имеем

В классической оптике для показателя преломления справедлива формула

где число атомов в единице объема. Что же касается классической поляризуемости, то она представляет собой сумму вкладов от всех электронов атома и ее можно записать в виде

Здесь частота собственных механических колебаний электрона номер к, а так называемая сила осциллятора указывает, какое число электронов в атоме имеет частоту собственных колебаний, равную Первые сомнения в правомерности классической картины явления были вызваны тем, что силы осцилляторов, как оказалось, не являются целыми числами.

Формально квантовое выражение (187.8) приводит к очень похожему результату. Действительно, мы можем написать

Далее из формулы (187.9) следует

где силы осцилляторов теперь определены соотношением

Формальное совпадение квантового результата (187.11) с классической формулой (187.10) оказывается, однако, обманчивым. В выражении (187.11) суммирование происходит не по электронам, а по возбужденным состояниям атома, поэтому суммирование по множеству термов оказывается необходимым даже в нашей одноэлектронной задаче. Вместо частот собственных колебаний со в квантовой формуле фигурируют разности И наконец, силы осцилляторов это уже не числа электронов, а скорее некие постоянные, характеризующие интенсивность дипольных переходов, значения которых определяются, согласно (187.12), матричными элементами электрического дипольного момента. Таким образом, не удивительно, что эти постоянные, вообще говоря, не являются целыми числами.