Задача 130. Собственные векторы матриц Паули

Найти собственные векторы операторов и показать необходимость условия Выяснить свойства "лестничных" операторов

и оператора квадрата вектора спина

Решение. Полагая в результатах предыдущей задачи получаем

и, следовательно,

Пусть далее есть двухкомпонентная волновая функция

тогда

Собственные векторы оператора удовлетворяют уравнению

где k — собственное значение; это уравнение можно записать через компоненты в виде

Последние уравнения совместны только в том случае, если . Таким образом, для собственных векторов получаем

Вероятности ориентаций спина вверх (в положительном направлении оси и вниз пропорциональны квадратам модулей коэффициентов при гильбертовых векторах а и а именно: Так как ни одна из ориентаций не является предпочтительной, то отсюда следует

Приведенные рассуждения полностью применимы и к оператору

Здесь и всюду в дальнейшем мы для определенности будем полагать, что Таким образом, собственные значения каждой из матриц равны +1 и —1. а их собственные векторы имеют вид

Все три матрицы Паули эрмитовы, а их собственные значения действительны. Напротив, операторы

не являются эрмитовыми:

Для них задача на собственные значения оказывается неразрешимой, так как эти операторы нельзя привести к диагональному виду. В этом можно убедиться следующим образом.

В наиболее общем случае двухрядную унитарную матрицу можно записать, если отвлечься от несущественного фазового множителя, в виде

-действительные параметры. Производя над оператором унитарное преобразование, получаем

но последнюю матрицу нельзя сделать диагональной ни при каком выборе действительных параметров, поскольку функции ни при каком значении аргумента не обращаются в нуль одновременно.

Если операторами подействовать на гильбертовы векторы то, согласно равенствам (130.6), получим

Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

Если от операторов перейти к нормированным операторам

то они, так же как и операторы (см. задачу 56), будут сдвигать собственное значение -компоненты спина на единицу (в единицах

Состояние с проекцией спина под действием оператора переходит в состояние а с проекцией спина оператор действует аналогично, но в другую сторону. Выражения по необходимости должны обращаться в нуль, так как, согласно приведенному правилу сдвига, в результате должны были бы получиться состояния с проекциями спина но таких состояний в рассматриваемом гильбертовом пространстве не существует.

В заключение рассмотрим оператор квадрата вектора спина

Нетрудно видеть, что все три матрицы являются единичными матрицами, поэтому матрица диагональна:

а ее значение равно 3, какой бы вектор гильбертова пространства мы ни брали. В справедливости этого результата можно убедиться и с помощью второго из выражений (130.14), воспользовавшись для произведений и -соотношениями (130.11). Из равенства (130.14) следует

Если ввести спиновое квантовое число 5, то правую часть последнего равенства можно записать в виде

где Именно это имеют в виду, когда говорят, что состояние имеет "спин 1/2".