Главная > Задачи по квантовой механике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задача 154. Два атомных электрона в основном состоянии

К-оболочка атома образована двумя электронами в -состоянии. Оценить их энергию, воспользовавшись экранированными водородными волновыми функциями в поле бесконечно тяжелого ядра с зарядом

Решение. Гамильтониан данной задачи, записанный в атомных единицах , выглядит следующим образом:

а приближенная волновая функция, согласно задаче 67, имеет вид

здесь

где -экранировочная постоянная. Следует ожидать, что поскольку действие ядерного заряда на каждый электрон лишь частично экранируется другим электроном. Отдельные сомножители из выражения (154.2) удовлетворяют волновым уравнениям

так что

а выражение для среднего значения энергии принимает вид

Подставляя сюда явное выражение (154.2) для функции и учитывая нормировку каждого сомножителя и, получаем

Первый интеграл в формуле (154.5) вычисляется элементарно:

Чтобы вычислить двойной интеграл

разложим дробь по полиномам Лежандра:

где угол между векторами Вклад в интеграл дает только первый член разложения поэтому имеем

Так как

то все интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем

После подстановки значений интегралов (154.6) и (154.7) среднее значение энергии (154.5) принимает вид

До сих пор мы не налагали на значения а никаких ограничений. Теперь же мы потребуем, чтобы значение а было оптимальным в смысле вариационного исчисления, для этого положим

Отсюда получаем

и

Отметим, что при таком значении а функция (154.2) становится точной собственной функцией гамильтониана

допускающего разделение переменных. Сравнивая выражения (154.12) и (154.1), находим

Если рассматривать теперь как энергию возмущения, а экранировочную постоянную выбрать в соответствии с равенством (154.10), то в первом порядке теории возмущений сдвиг рассматриваемого уровня

окажется равным нулю.

В заключение рассмотрим несколько числовых примеров. Развитая теория описывает атомы, у которых удалены все электроны, за исключением двух электронов, находящихся на К-оболочке. Мы располагаем экспериментальными данными для

Во всех этих случаях измеряется не сама энергия а энергия ионизации необходимая для отрыва от иона только одного из двух -электронов. Остающийся ион обладает всего одним электроном, поэтому его энергия равна

а для энергии ионизации получаем

Из приводимой ниже таблицы ясно видно, что согласие экспериментальных данных с формулой (154.13) непрерывно улучшается по мере роста

(см. скан)

Эта закономерность вполне разумна, так как член ответственный за взаимодействие электронов между собой, играет все меньшую роль по мере того, как с ростом увеличивается связь каждого электрона с ядром.

1
Оглавление
email@scask.ru